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1954 AMC 12 Problema 14

Intenta el Problema 14 del 1954 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1954 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

Al simplificar,

\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}

es igual a:

When simplified

\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}

equals:

\dfrac{x^4+2x^2-1}{2x^2}

\dfrac{x^4-1}{2x^2}

\dfrac{\sqrt{x^2+1}}2

\dfrac{x^2}{\sqrt2}

\dfrac{x^2}{2}+\dfrac1{2x^2}

Respuesta: E

Conceptos:radical cuadrado perfecto manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Escribe

1

con denominador

4x^4

Put

1

over the denominator

4x^4

Pista grande:

El numerador se convierte en

4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2

The numerator becomes

4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2

Solución:

Para

x\ne0,

\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}

Como

x^2\gt0,

su raíz cuadrada es

\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For

x\ne0,

\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}

Because

x^2\gt0,

its square root is

\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 14 en otros años