1956 AMC 12 第 34 题

Question

若

n

是任意非负整数，则

n^2(n^2-1)

一定能被下列哪个数整除？

If

n

is any whole number,

n^2(n^2-1)

is always divisible by:

12

24

12

的任意倍数

any multiple of

12

12-n

12

和

24

12

and

24

答案：A

知识点：整除性 consecutive integers 奇偶性

难度评级：1770

小提示：

将这个式子因式分解为

n^2(n-1)(n+1)

Factor the expression as

n^2(n-1)(n+1)

大提示：

三个连续整数中必有一个是

3

的倍数，而这些因子中至少含有两个因子

2

Among three consecutive integers there is a multiple of

3,

and the factors supply at least two powers of

2

解答：

我们有

n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1)\text{。}

在

n-1

、

n

、

n+1

中，有一个能被

3

整除。若

n

为偶数，则

n^2

能被

4

整除；若

n

为奇数，则

n-1

和

n+1

都是偶数，所以它们的乘积能被

4

整除。因此，这个式子一定能被

12

整除。它不一定能被

24

整除，因为

n=2

时式子的值为

12

。

因此，正确答案是 A。

We have

n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).

Among

n-1,

n,

and

n+1,

one is divisible by

3.

If

n

is even,

n^2

is divisible by

4;

if

n

is odd, both

n-1

and

n+1

are even, so their product is divisible by

4.

Thus the expression is always divisible by

12.

It is not always divisible by

24,

since

n=2

gives

12.

Therefore, the correct answer is A.

1956 AMC 12 第 34 题

答案：A

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

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