1956 AMC 12 Problema 34

Question

Si

n

es cualquier entero no negativo,

n^2(n^2-1)

siempre es divisible entre:

If

n

is any whole number,

n^2(n^2-1)

is always divisible by:

12

24

cualquier múltiplo de

12

any multiple of

12

12-n

12

y

24

12

and

24

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad consecutive integers paridad

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Factoriza la expresión como

n^2(n-1)(n+1)

Factor the expression as

n^2(n-1)(n+1)

Pista grande:

Entre tres enteros consecutivos hay un múltiplo de

3,

y los factores aportan al menos dos factores

2

Among three consecutive integers there is a multiple of

3,

and the factors supply at least two powers of

2

Solución:

Tenemos

n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).

Entre

n-1,

n,

y

n+1,

uno es divisible entre

3.

Si

n

es par,

n^2

es divisible entre

4;

si

n

es impar, tanto

n-1

como

n+1

son pares, por lo que su producto es divisible entre

4.

Así, la expresión siempre es divisible entre

12.

No siempre es divisible entre

24,

pues

n=2

da

12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have

n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).

Among

n-1,

n,

and

n+1,

one is divisible by

3.

If

n

is even,

n^2

is divisible by

4;

if

n

is odd, both

n-1

and

n+1

are even, so their product is divisible by

4.

Thus the expression is always divisible by

12.

It is not always divisible by

24,

since

n=2

gives

12.

Therefore, the correct answer is A.