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1962 AMC 12 第 34 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

34.

当实数

K

取哪些值时，方程

x=K^2(x-1)(x-2)

有实根？

For what real values of

K

does

x=K^2(x-1)(x-2)

have real roots?

没有任何值

none

-2\lt K\lt1

-2\sqrt2\lt K\lt2\sqrt2

K\gt1

或

K\lt-2

K\gt1

or

K\lt-2

所有实数

all

答案：E

知识点：二次方程代数变形

难度评级：1550

小提示：

展开并合并同类项，得到关于

x

的二次方程

Expand and collect terms to obtain a quadratic in

x

大提示：

其判别式化简为

K^4+6K^2+1

Its discriminant simplifies to

K^4+6K^2+1

解答：

整理得

K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0\text{。}

对每个实数

K

，其判别式均满足

\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}\text{。}

这也包括

K=0

的情形，此时原方程给出

x=0

。

所以正确答案是 E。

Rearranging gives

K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.

Its discriminant is

\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}

for every real

K.

This also covers

K=0,

when the original equation gives

x=0.

Therefore, the correct answer is E.