1963 AMC 12 第 34 题

Question

在三角形

ABC

中，边

a=\sqrt3

，边

b=\sqrt3

，且边

c\gt3

。设

x

是满足“边

c

所对角的度数必大于

x

”的最大数，则

x

等于：

In triangle

ABC,

side

a=\sqrt3,

side

b=\sqrt3,

and side

c\gt3.

Let

x

be the largest number such that the magnitude, in degrees, of the angle opposite side

c

exceeds

x.

Then

x

equals:

150

120

105

90

60

答案：B

知识点：余弦定理不等式极限情形界定

难度评级：1920

小提示：

对边

c

所对的角

C

使用余弦定理

Use the law of cosines for the angle

C

opposite

c

大提示：

把

c\gt3

与极限情形

c=3

比较

Compare

c\gt3

with the limiting case

c=3

解答：

余弦定理给出

\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}\text{。}

因为

c\gt3

，所以

\cos C\lt-\frac{1}{2}

，从而

C\gt120^\circ

。角度可以趋近

120^\circ

，只要

c

从右侧趋近

3

，所以能保证的最大下界是

120

。

所以正确答案是 B。

The law of cosines gives

\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}.

Since

c\gt3,

\cos C\lt-\frac{1}{2},

so

C\gt120^\circ.

Values can approach

120^\circ

as

c

approaches

3

from above, so the largest guaranteed bound is

120.

Therefore, the correct answer is B.

1963 AMC 12 第 34 题

答案：B

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

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