1960 AMC 12 Problema 33

Question

Se da una sucesión de

58

términos; cada término tiene la forma

P+n

, donde

P

representa el producto

2\cdot3\cdot5\cdots61

de todos los números primos menores o iguales que

61,

y

n

toma sucesivamente los valores

2,

3,

4,

\ldots,

59.

Sea

N

el número de primos que aparecen en esta sucesión. Entonces

N

es:

You are given a sequence of

58

terms; each term has the form

P+n

where

P

stands for the product

2\cdot3\cdot5\cdots61

of all prime numbers less than or equal to

61,

and

n

takes, successively, the values

2,

3,

4,

\ldots,

59.

Let

N

be the number of primes appearing in this sequence. Then

N

is:

0

16

17

57

58

Respuesta: A

Conceptos:primo divisibilidad factorización en primos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Todo

n

desde

2

hasta

59

tiene un divisor primo no mayor que

59

Every

n

from

2

through

59

has a prime divisor at most

59

Pista grande:

Ese mismo divisor primo divide tanto a

P

como a

n

That same prime divisor divides both

P

and

n

Solución:

Para cada

n

del intervalo dado, elige un divisor primo

p

de

n.

Como

p\le59,

es uno de los factores de

P.

Por tanto,

p

divide a

P+n.

Además,

P+n>p,

así que

P+n

es compuesto. Ningún término es primo y

N=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each

n

in the given range, choose a prime divisor

p

of

n.

Since

p\le59,

it is one of the factors of

P.

Therefore

p

divides

P+n.

Moreover

P+n>p,

so

P+n

is composite. No term is prime, and

N=0.

Thus, the correct answer is A.