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1960 AMC 12 第 38 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

38.

在图中，

\overline{AB}

和

\overline{AC}

是等腰三角形

ABC

的两条等长边，其中内接等边三角形

DEF

。记角

BFD

为

a

、角

ADE

为

b

、角

FEC

为

c

。则：

In this diagram

\overline{AB}

and

\overline{AC}

are the equal sides of an isosceles triangle

ABC,

in which is inscribed equilateral triangle

DEF.

Designate angle

BFD

by

a,

angle

ADE

by

b,

and angle

FEC

by

c.

Then:

b=\dfrac{a+c}{2}

b=\dfrac{a-c}{2}

a=\dfrac{b-c}{2}

a=\dfrac{b+c}{2}

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：导角等腰三角形等边三角形

难度评级：2000

小提示：

设

ABC

的每个底角为

\theta

Let each base angle of

ABC

be

\theta

大提示：

利用等边三角形的

60^\circ

角，比较

DF

、

DE

与

EF

的方向

Compare the directions of

DF,

DE,

and

EF

using the

60^\circ

angles of the equilateral triangle

解答：

设

ABC

的每个底角为

\theta

。从

BC

的方向量起，直线

FD

的方向角为

180^\circ-a

，所以由等边三角形条件，

DE

的方向角为

60^\circ-a

。在

D

点处，

b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a\text{。}

同样，在

E

点追角可得

c=60^\circ+a-\theta\text{。}

两式相加，得到

b+c=2a

。

因此

a=\frac{b+c}{2}

，正确答案是 D。

Let each base angle of

ABC

be

\theta.

Measured from the direction

BC,

the line

FD

has direction

180^\circ-a,

so the equilateral condition makes

DE

have direction

60^\circ-a.

At

D,

b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a.

Similarly, angle chasing at

E

gives

c=60^\circ+a-\theta.

Adding these equations yields

b+c=2a.

Therefore

a=\frac{b+c}{2},

and the correct answer is D.

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