1962 AMC 12 Problema 34

Question

¿Para qué valores reales de

K

tiene raíces reales la ecuación

x=K^2(x-1)(x-2)

?

For what real values of

K

does

x=K^2(x-1)(x-2)

have real roots?

ninguno

none

-2\lt K\lt1

-2\sqrt2\lt K\lt2\sqrt2

K\gt1

o

K\lt-2

K\gt1

or

K\lt-2

todos

all

Desarrolla y agrupa los términos para obtener una ecuación cuadrática en

x

Expand and collect terms to obtain a quadratic in

x

Su discriminante se simplifica a

K^4+6K^2+1

Its discriminant simplifies to

K^4+6K^2+1

Al reordenar se obtiene

K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.

Para todo

K

real, su discriminante es

\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0. \end{aligned}

Esto también abarca

K=0,

cuando la ecuación original da

x=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rearranging gives

K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.

Its discriminant is

\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}

for every real

K.

This also covers

K=0,

when the original equation gives

x=0.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 34 en otros años