1965 AMC 12 第 35 题

Question

一个长方形长

5

英寸、宽小于

4

英寸。将其折叠，使一对对角顶点重合。若折痕长为

\sqrt6

，则长方形的宽为：

The length of a rectangle is

5

inches and its width is less than

4

inches. The rectangle is folded so that two diagonally opposite vertices coincide. If the length of the crease is

\sqrt6,

then the width is:

\sqrt2

\sqrt3

2

\sqrt5

\sqrt{\frac{11}{2}}

答案：D

知识点：折纸垂直平分线坐标几何勾股定理

难度评级：2290

小提示：

折痕是长方形一条对角线的垂直平分线

The crease is the perpendicular bisector of a rectangle diagonal

大提示：

若宽为

w\lt4

，则折痕与两条长边交点的水平距离为

\frac{w^2}{5}

If the width is

w\lt4,

its intersections with the long sides differ horizontally by

\frac{w^2}{5}

解答：

将长方形的四个顶点置于

(0,0)

、

(5,0)

、

(5,w)

和

(0,w)

。使

(0,0)

与

(5,w)

重合的折痕为

5x+wy=\frac{25+w^2}{2}\text{。}

因为

w\lt4

，折痕与两条水平边相交。两个交点间的竖直变化量为

w

，水平变化量为

\frac{w^2}{5}

。因此

6=w^2+\frac{w^4}{25}\text{。}

令

z=w^2

，得

z^2+25z-150=0

，所以

z=5

，且

w=\sqrt5

。

因此，正确答案是 D。

Place the rectangle at

(0,0),

(5,0),

(5,w),

and

(0,w).

The crease sending

(0,0)

to

(5,w)

is

5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.

Because

w\lt4,

it meets the two horizontal sides. Between those intersections the vertical change is

w

and the horizontal change is

\frac{w^2}{5}.

Thus

6=w^2+\frac{w^4}{25}.

Setting

z=w^2

gives

z^2+25z-150=0,

so

z=5

and

w=\sqrt5.

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：2290

小提示：

大提示：

解答：

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