1972 AMC 12 第 35 题

Question

边

AB

长为

2

英寸的等边三角形

ABP

放在边长为

4

英寸的正方形

AXYZ

内，使

B

位于边

AX

上。三角形先绕

B

顺时针旋转，再绕

P

旋转，如此沿正方形各边滚动，直到

P

、

A

和

B

都回到各自的初始位置。顶点

P

所走路径的长度（英寸）为：

Equilateral triangle

ABP

with side

AB

of length

2

inches is placed inside square

AXYZ

with side of length

4

inches so that

B

is on side

AX.

The triangle is rotated clockwise about

B,

then

P,

and so on along the sides of the square until

P,

A,

and

B

all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex

P

is equal to:

\dfrac{20\pi}{3}

\dfrac{32\pi}{3}

12\pi

\dfrac{40\pi}{3}

15\pi

答案：D

知识点：等边三角形变换弧过程模拟

难度评级：2450

小提示：

追踪绕正方形完成一圈八次转轴后的三角形方向

Track the orientation after one eight-pivot circuit of the square

大提示：

共需三圈；按

P

保持不动、沿

120^\circ

圆弧移动或沿

30^\circ

圆弧移动来分类各次转轴

Three circuits are needed; classify the pivots according to whether

P

is fixed or moves through a

120^\circ

or

30^\circ

arc

解答：

沿正方形完成一圈需要

8

次转轴，并使三角形的方向改变一整圈的

\frac{2}{3}

。因此，整个三角形恢复初始位置需要

3

圈，即

24

次转轴。其中有

8

次绕

P

旋转，所以

P

不动。其余

16

次中，八段圆弧所对圆心角为

120^\circ

，另八段为

30^\circ

，半径均为

2

。因此路径总长为

\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

One circuit of the square uses

8

pivots and changes the triangle’s orientation by

\frac{2}{3}

of a full turn. Therefore

3

circuits, or

24

pivots, are required to restore the entire triangle. In

8

of those pivots the rotation is about

P,

so

P

does not move. In the other

16,

eight arcs subtend

120^\circ

and eight subtend

30^\circ,

all with radius

2.

Hence the total path length is

\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

1972 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

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