1968 AMC 12 第 35 题

Question

在图中，圆心为

O

，半径为

a

英寸，弦

EF

平行于弦

CD

，

O

、

G

、

H

、

J

共线，且

G

是

CD

的中点。设

K

（平方英寸）表示梯形

CDFE

的面积，

R

（平方英寸）表示矩形

ELMF

的面积。将

CD

与

EF

向上平移，使

OG

增大并趋近于

a

，同时始终保持

JH

等于

HG

，则比值

K:R

可以任意接近：

In this diagram the center of the circle is

O,

the radius is

a

inches, chord

EF

is parallel to chord

CD,

O,

G,

H,

J

are collinear, and

G

is the midpoint of

CD.

Let

K

(square inches) represent the area of trapezoid

CDFE

and let

R

(square inches) represent the area of rectangle

ELMF.

Then, as

CD

and

EF

are translated upward so that

OG

increases toward the value

a,

while

JH

always equals

HG,

the ratio

K:R

becomes arbitrarily close to:

0

1

\sqrt2

\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac12

\dfrac1{\sqrt2}+1

答案：D

知识点：圆弦梯形微积分

难度评级：2650

小提示：

令

JH=HG=x

，则

OG=a-2x

，且

OH=a-x

Let

JH=HG=x,

so

OG=a-2x

and

OH=a-x

大提示：

用勾股定理表示两条半弦，再令

x

趋近于

0

Express the two half-chords with the Pythagorean theorem, then let

x

approach

0

解答：

令

JH=HG=x

。则

OG=a-2x

，且

OH=a-x

。两条半弦为

\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}\text{。} \end{aligned}

由于两个图形的高均为

x

，

\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}\text{。} \end{aligned}

当

x

趋近于

0

时，后一个分数趋近于

\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}\text{。}

因此

K:R

趋近于

\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{2}

。

因此，正确答案是 D。

Let

JH=HG=x.

Then

OG=a-2x

and

OH=a-x.

The half-chords are

\begin{aligned} GD&=2\sqrt{x(a-x)},\\ HF&=\sqrt{x(2a-x)}. \end{aligned}

Since both figures have height

x,

\begin{aligned} \frac KR&=\frac{x(GD+HF)}{2x(HF)}\\ &=\frac12+\frac{GD}{2HF}. \end{aligned}

As

x

approaches

0,

the latter fraction approaches

\frac{2\sqrt{ax}}{2\sqrt{2ax}}=\frac1{\sqrt2}.

Thus

K:R