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1969 AMC 12 第 34 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

34.

用

x^2-3x+2

除

x^{100}

所得的余式

R

是次数小于

2

的多项式。则

R

可以写成：

The remainder

R

obtained by dividing

x^{100}

by

x^2-3x+2

is a polynomial of degree less than

2.

Then

R

may be written as:

2^{100}-1

2^{100}(x-1)-(x-2)

2^{100}(x-3)

x(2^{100}-1)+2(2^{99}-1)

2^{100}(x+1)-(x+2)

答案：B

知识点：多项式方程组换元法

难度评级：2010

小提示：

写成

R(x)=ax+b

，并利用

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

Write

R(x)=ax+b

and use

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

大提示：

分别在

x=1

与

x=2

处代入多项式除法恒等式

Evaluate the division identity at

x=1

and

x=2

解答：

写成

R(x)=ax+b

。由于除式为

(x-1)(x-2)

，在它的两个根处代入多项式除法恒等式，得到

R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}\text{。}

因此

\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2) \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

Write

R(x)=ax+b.

Since the divisor is

(x-1)(x-2),

evaluating the division identity at its roots gives

R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.

Therefore

\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.