1990 AMC 12 第 14 题

Question

锐角等腰三角形

ABC

内接于一个圆。过

B

和

C

分别作圆的切线，两条切线交于点

D

。若

\angle ABC=\angle ACB=2\angle D

，且

x

是

\angle A

的弧度数，则

x=

An acute isosceles triangle,

ABC,

is inscribed in a circle. Through

B

and

C,

tangents to the circle are drawn, meeting at point

D.

If

\angle ABC=\angle ACB=2\angle D

and

x

is the radian measure of

\angle A,

then

x=

\frac37\pi

\frac49\pi

\frac5{11}\pi

\frac6{13}\pi

\frac7{15}\pi

答案：A

知识点：圆 tangent 圆周角导角

难度评级：1910

小提示：

用

x

表示每个底角

Express each base angle in terms of

x

大提示：

两条切线所成的角为

\pi-2x

The angle between the tangents is

\pi-2x

解答：

两个底角均为

\frac{\pi-x}{2}

。小弧

BC

对应的圆心角为

2x

，所以两条切线所成的角为

\pi-2x

。由已知关系可得

\frac{\pi-x}{2}=2(\pi-2x)\text{。}

因此

7x=3\pi

，即

x=\frac{3\pi}{7}

。

所以正确答案是 A。

The two base angles are each

\frac{\pi-x}{2}.

The minor arc

BC

has central angle

2x,

so the angle between the tangents is

\pi-2x.

The given relation yields

\frac{\pi-x}{2}=2(\pi-2x).

Therefore

7x=3\pi,

or

x=\frac{3\pi}{7}.

Thus the correct answer is A.

1990 AMC 12 第 14 题

答案：A

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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