1956 AMC 12 Problema 35

Question

Un rombo está formado por dos radios y dos cuerdas de un círculo cuyo radio mide

16

pies. El área del rombo en pies cuadrados es:

A rhombus is formed by two radii and two chords of a circle whose radius is

16

feet. The area of the rhombus in square feet is:

128

128\sqrt3

256

512

512\sqrt3

Respuesta: B

Conceptos:rombo chord length central angle área

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada lado del rombo mide

16,

así que cada cuerda es igual al radio

Every side of the rhombus has length

16,

so each chord equals the radius

Pista grande:

Una cuerda igual al radio subtiende un ángulo central de

60^\circ;

usa

s^2\sin\theta

A chord equal to the radius subtends a

60^\circ

central angle; use

s^2\sin\theta

Solución:

Los cuatro lados del rombo son iguales al radio del círculo,

16.

Una cuerda cuya longitud es igual al radio forma un triángulo equilátero con los dos radios que llegan a sus extremos, de modo que el ángulo central comprendido es

60^\circ.

Por lo tanto, el área del rombo es

\begin{aligned} 16^2\sin60^\circ &=256\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=128\sqrt3. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

All four sides of the rhombus equal the circle’s radius,

16.

A chord of length equal to the radius forms an equilateral triangle with the two radii to its endpoints, so the included central angle is

60^\circ.

Therefore the rhombus has area

\begin{aligned} 16^2\sin60^\circ &=256\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=128\sqrt3. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.