1957 AMC 12 Problema 35

Question

El lado

\overline{AC}

del triángulo rectángulo

ABC

se divide en

8

partes iguales. Desde los puntos de división se trazan siete segmentos paralelos a

\overline{BC}

hasta

\overline{AB}

. Si

BC=10,

entonces la suma de las longitudes de los siete segmentos:

Side

\overline{AC}

of right triangle

ABC

is divided into

8

equal parts. Seven line segments parallel to

\overline{BC}

are drawn to

\overline{AB}

from the points of division. If

BC=10,

then the sum of the lengths of the seven line segments:

no se puede hallar con la información dada

cannot be found from the given information

es

33

is

33

es

34

is

34

es

35

is

35

es

45

is

45

Respuesta: D

Conceptos:semejanza sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Cada triángulo pequeño con vértice

A

es semejante al triángulo

ABC

Each small triangle with vertex

A

is similar to triangle

ABC

Pista grande:

Las siete longitudes paralelas son

\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}

The seven parallel lengths are

\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}

Solución:

Por semejanza, el segmento en el

k

-ésimo punto de división mide

\frac{10k}{8}

para

k=1,\ldots,7.

Su suma es

\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By similarity, the segment at the

k

th division point has length

\frac{10k}{8}

for

k=1,\ldots,7.

Their sum is

\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.