1958 AMC 12 Problema 38

Question

Sea

r

la distancia del origen a un punto

P

de coordenadas

x

y

y.

Denotemos la razón

\frac{y}{r}

por

s

y la razón

\frac{x}{r}

por

c.

Los valores de

s^2-c^2

están:

Let

r

be the distance from the origin to a point

P

with coordinates

x

and

y.

Designate the ratio

\frac{y}{r}

by

s

and the ratio

\frac{x}{r}

by

c.

Then the values of

s^2-c^2

are limited to the numbers:

por debajo de

-1

y por encima de

+1,

sin incluirlos

less than

-1

and greater than

+1,

both excluded

por debajo de

-1

y por encima de

+1,

incluyéndolos

less than

-1

and greater than

+1,

both included

entre

-1

y

+1,

sin incluirlos

between

-1

and

+1,

both excluded

entre

-1

y

+1,

incluyéndolos

between

-1

and

+1,

both included

solo en

-1

y

+1

-1

and

+1

only

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica Teorema de Pitágoras desigualdad

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa

r^2=x^2+y^2

para relacionar

s^2+c^2

Use

r^2=x^2+y^2

to relate

s^2+c^2

Pista grande:

Reescribe

s^2-c^2

como

2s^2-1

Rewrite

s^2-c^2

as

2s^2-1

Solución:

Como

r^2=x^2+y^2,

s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1.

Así,

s^2-c^2=2s^2-1.

Como

0\le s^2\le1,

la expresión recorre de

-1

a

1,

con ambos extremos incluidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

r^2=x^2+y^2,

s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1.

Thus

s^2-c^2=2s^2-1.

Because

0\le s^2\le1,

this expression ranges from

-1

through

1,

with both endpoints included.

Thus, the correct answer is D.