1959 AMC 12 Problema 35

Question

El símbolo

\ge

significa «mayor o igual que»; el símbolo

\le

significa «menor o igual que». En la ecuación

(x-m)^2-(x-n)^2=(m-n)^2,

m

es un número positivo fijo y

n

es un número negativo fijo. El conjunto de valores

x

que satisfacen la ecuación es:

The symbol

\ge

means “greater than or equal to”; the symbol

\le

means “less than or equal to.” In the equation

(x-m)^2-(x-n)^2=(m-n)^2,

m

is a fixed positive number, and

n

is a fixed negative number. The set of values

x

satisfying the equation is:

x\ge0

x\le n

x=0

el conjunto de todos los números reales

the set of all real numbers

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:diferencia de cuadrados ecuación lineal desigualdad

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza la diferencia de cuadrados del lado izquierdo

Factor the difference of squares on the left

Pista grande:

Como

m\ne n,

divide entre

m-n

y despeja

x

Because

m\ne n,

divide by

m-n

and solve for

x

Solución:

Al factorizar el lado izquierdo se obtiene

\begin{aligned} &(n-m)(2x-m-n)\\ &\qquad=(m-n)^2. \end{aligned}

Como

m\ne n,

al dividir entre

n-m

resulta

2x-m-n=n-m,

así que

x=n.

Este único valor negativo no corresponde a ninguna de las opciones A a D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring the left side gives

\begin{aligned} &(n-m)(2x-m-n)\\ &\qquad=(m-n)^2. \end{aligned}

Since

m\ne n,

division by

n-m

yields

2x-m-n=n-m,

so

x=n.

This single negative value is not any of choices A through D.

Therefore, the correct answer is E.