1959 AMC 12 Problema 34

Question

Denotemos las raíces de

x^2-3x+1=0

por

r

y

s.

Entonces la expresión

r^2+s^2

es:

Let the roots of

x^2-3x+1=0

be

r

and

s.

Then the expression

r^2+s^2

is:

un entero positivo

a positive integer

una fracción positiva mayor que

1

a positive fraction greater than

1

una fracción positiva menor que

1

a positive fraction less than

1

un número irracional

an irrational number

un número imaginario

an imaginary number

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Usa

r+s=3

y

rs=1

Use

r+s=3

and

rs=1

Pista grande:

Reescribe

r^2+s^2

como

(r+s)^2-2rs

Rewrite

r^2+s^2

as

(r+s)^2-2rs

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan

r+s=3

y

rs=1.

Por lo tanto,

\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7, \end{aligned}

que es un entero positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Vieta’s formulas give

r+s=3

and

rs=1.

Therefore

\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=9-2=7, \end{aligned}

which is a positive integer.

Thus, the correct answer is A.