1994 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

1.

4^4\cdot9^4\cdot4^9\cdot9^9=

13^{13}

13^{36}

36^{13}

36^{36}

1296^{26}

Respuesta: C

Conceptos:laws of exponents factorización

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Agrupa las potencias de

4

y las potencias de

9

Group the powers of

4

and the powers of

9

Pista grande:

Ambas bases tienen exponente total

4+9

Both bases have total exponent

4+9

Solución:

Al combinar las potencias de la misma base y luego emparejarlas,

\begin{aligned} 4^4\cdot4^9\cdot9^4\cdot9^9 &=4^{13}9^{13}\\ &=(4\cdot9)^{13}\\ &=36^{13}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Combining like bases and then pairing them,

\begin{aligned} 4^4\cdot4^9\cdot9^4\cdot9^9 &=4^{13}9^{13}\\ &=(4\cdot9)^{13}\\ &=36^{13}. \end{aligned}

Thus the correct answer is C.

2.

Un rectángulo grande está dividido en cuatro rectángulos mediante dos segmentos paralelos a sus lados. Se muestran las áreas de tres de los rectángulos resultantes. ¿Cuál es el área del cuarto rectángulo?

$6$	$14$
?	$35$

A large rectangle is partitioned into four rectangles by two segments parallel to its sides. The areas of three of the resulting rectangles are shown. What is the area of the fourth rectangle?

$6$	$14$
?	$35$

10

15

20

21

25

Respuesta: B

Conceptos:rectangle areas proportionality

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Representa con variables los anchos de las dos columnas y las alturas de las dos filas

Represent the two column widths and two row heights by variables

Pista grande:

Los productos de las áreas diagonalmente opuestas son iguales

Products of diagonally opposite areas are equal

Solución:

Sean

u,v

los anchos de las columnas y

s,t

las alturas de las filas. Las áreas mostradas dan

us=6,

vs=14,

y

vt=35.

Por lo tanto, el área que falta es

ut=\frac{(us)(vt)}{vs}=\frac{6\cdot35}{14}=15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the column widths be

u,v

and the row heights be

s,t.

The displayed areas give

us=6,

vs=14,

and

vt=35.

Therefore the missing area is

ut=\frac{(us)(vt)}{vs}=\frac{6\cdot35}{14}=15.

Thus the correct answer is B.

3.

¿Cuántas de las siguientes expresiones son iguales a

x^x+x^x

para todo

x\gt0

?

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}

How many of the following are equal to

x^x+x^x

for all

x\gt0?

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}

0

1

2

3

4

Respuesta: B

Conceptos:exponential expressions identities

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Primero combina los dos términos idénticos

First combine the two identical terms

Pista grande:

Comprueba si cambiar la base o el exponente conserva

2x^x

para todo

x

Test whether changing the base or exponent preserves

2x^x

for every

x

Solución:

La suma dada es

2x^x,

por lo que la expresión I siempre es igual a ella. La expresión II falla cuando

x=1,

pues su valor es

1

en vez de

2.

La expresión III falla cuando

x=2,

pues su valor es

16

en vez de

8.

La expresión IV falla cuando

x=1,

pues su valor es

4

en vez de

2.

Por consiguiente, solo una expresión funciona. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The given sum is

2x^x,

so expression I is always equal to it. Expression II fails at

x=1,

where its value is

1

instead of

2.

Expression III fails at

x=2,

where its value is

16

instead of

8.

Expression IV fails at

x=1,

where its value is

4

instead of

2.

Hence only one expression works. Thus the correct answer is B.

4.

En el plano

xy

, el segmento con extremos

(-5,0)

y

(25,0)

es el diámetro de un círculo. Si el punto

(x,15)

pertenece al círculo, entonces

x=

In the

xy

-plane, the segment with endpoints

(-5,0)

and

(25,0)

is the diameter of a circle. If the point

(x,15)

is on the circle, then

x=

10

12.5

15

17.5

20

Respuesta: A

Conceptos:circle equation diameter

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Halla el centro y el radio a partir de los extremos del diámetro

Find the center and radius from the diameter endpoints

Pista grande:

La distancia vertical del punto al centro ya es igual al radio

The point’s vertical distance from the center already equals the radius

Solución:

El centro es

(10,0)

y el radio es

15.

Por consiguiente,

(x-10)^2+15^2=15^2,

así que

x=10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The center is

(10,0)

and the radius is

15.

Thus

(x-10)^2+15^2=15^2,

so

x=10.

Thus the correct answer is A.

5.

Pat quería multiplicar un número por

6

, pero en su lugar lo dividió entre

6.

Luego quería sumar

14

, pero en su lugar restó

14.

Tras estos errores, el resultado fue

16.

Si se hubieran usado las operaciones correctas, el valor obtenido habría sido

Pat intended to multiply a number by

6

but instead divided by

6.

Pat then meant to add

14

but instead subtracted

14.

After these mistakes, the result was

16.

If the correct operations had been used, the value produced would have been

menor que

400

less than

400

entre

400

y

600

between

400

and

600

entre

600

y

800

between

600

and

800

entre

800

y

1000

between

800

and

1000

mayor que

1000

greater than

1000

Respuesta: E

Conceptos:reverse operations linear equations

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Deshaz la resta y la división equivocadas para recuperar el número inicial

Undo the mistaken subtraction and division to recover the starting number

Pista grande:

Aplica

6x+14

a ese número inicial

Apply

6x+14

to that starting number

Solución:

Si el número inicial es

x,

el cálculo equivocado da

\frac{x}{6}-14=16,

de modo que

x=180.

El cálculo previsto produciría

6(180)+14=1094,

que es mayor que

1000.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If the starting number is

x,

the mistaken calculation gives

\frac{x}{6}-14=16,

so

x=180.

The intended calculation would produce

6(180)+14=1094,

which is greater than

1000.

Thus the correct answer is E.

6.

En la sucesión

\ldots,a,b,c,d,0,1,1,2,3,5,8,\ldots

cada término es la suma de los dos términos situados a su izquierda. Halla

a.

In the sequence

\ldots,a,b,c,d,0,1,1,2,3,5,8,\ldots

each term is the sum of the two terms to its left. Find

a.

-3

-1

0

1

3

Respuesta: A

Conceptos:Fibonacci recurrence working backward

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás restando el término anterior conocido

Work backward by subtracting the preceding known term

Pista grande:

Determina

d,c,b

, en ese orden, antes de hallar

a

Determine

d,c,b

in that order before finding

a

Solución:

Al trabajar hacia atrás,

d+0=1

da

d=1,

luego

c+d=0

da

c=-1,

y

b+c=d

da

b=2.

Finalmente,

a+b=c,

así que

a=-1-2=-3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Working backward,

d+0=1

gives

d=1,

then

c+d=0

gives

c=-1,

and

b+c=d

gives

b=2.

Finally

a+b=c,

so

a=-1-2=-3.

Thus the correct answer is A.

7.

Los cuadrados

ABCD

y

EFGH

son congruentes,

AB=10,

y

G

es el centro del cuadrado

ABCD.

El área de la región del plano cubierta por estos cuadrados es

Squares

ABCD

and

EFGH

are congruent,

AB=10,

and

G

is the center of square

ABCD.

The area of the region in the plane covered by these squares is

75

100

125

150

175

Respuesta: E

Conceptos:overlapping squares área diagonals

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

La intersección es el triángulo

GAB

The overlap is triangle

GAB

Pista grande:

La distancia del centro

G

al lado

\overline{AB}

es

5

The distance from the center

G

to side

\overline{AB}

is

5

Solución:

Cada cuadrado tiene área

100.

Su intersección es

\triangle GAB,

cuya base es

AB=10

y cuya altura desde el centro

G

hasta

\overline{AB}

es

5.

Su área es

\frac12(10)(5)=25.

Por lo tanto, la unión tiene área

100+100-25=175.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each square has area

100.

Their overlap is

\triangle GAB,

whose base is

AB=10

and whose altitude from the center

G

to

\overline{AB}

is

5.

Its area is

\frac12(10)(5)=25.

Hence the union has area

100+100-25=175.

Thus the correct answer is E.

8.

En el polígono mostrado, cada lado es perpendicular a sus lados adyacentes y los

28

lados son congruentes. El perímetro del polígono es

56.

El área de la región delimitada por el polígono es

In the polygon shown, each side is perpendicular to its adjacent sides, and all

28

of the sides are congruent. The perimeter of the polygon is

56.

The area of the region bounded by the polygon is

84

96

100

112

196

Respuesta: C

Conceptos:orthogonal polygon descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Cada lado tiene longitud

\frac{56}{28}

Each side has length

\frac{56}{28}

Pista grande:

Tomando como unidad la longitud de un lado, divide la figura en franjas horizontales de anchos

1,3,5,7,5,3,1

In units of one side length, split the shape into horizontal strips of widths

1,3,5,7,5,3,1

Solución:

Cada lado tiene longitud

2.

Medidas en unidades de la longitud del lado, las siete franjas horizontales tienen anchos

1,3,5,7,5,3,1,

que suman

25

cuadrados unitarios. Cada uno de esos cuadrados tiene área

2^2=4,

por lo que el área del polígono es

25\cdot4=100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each side has length

2.

Measured in side-length units, the seven horizontal strips have widths

1,3,5,7,5,3,1,

totaling

25

unit squares. Each such square has area

2^2=4,

so the polygon’s area is

25\cdot4=100.

Thus the correct answer is C.

9.

Si

\angle A

es cuatro veces

\angle B,

y el complemento de

\angle B

es cuatro veces el complemento de

\angle A,

entonces

\angle B=

If

\angle A

is four times

\angle B,

and the complement of

\angle B

is four times the complement of

\angle A,

then

\angle B=

10^\circ

12^\circ

15^\circ

18^\circ

22.5^\circ

Respuesta: D

Conceptos:complementary angles linear equations

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Sea

\angle B=x

y escribe

\angle A=4x

Let

\angle B=x

and write

\angle A=4x

Pista grande:

Traduce la segunda condición como

90-x=4(90-4x)

Translate the second condition as

90-x=4(90-4x)

Solución:

Sea

\angle B=x,

de modo que

\angle A=4x.

La condición sobre los complementos da

90-x=4(90-4x).

Por tanto,

15x=270

y

x=18^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

\angle B=x,

so

\angle A=4x.

The complement condition gives

90-x=4(90-4x).

Hence

15x=270

and

x=18^\circ.

Thus the correct answer is D.

10.

Para números reales distintos

x

y

y,

sea

M(x,y)

el mayor de

x

y

y

, y sea

m(x,y)

el menor de

x

y

y.

Si

a\lt b\lt c\lt d\lt e,

entonces

\begin{aligned} &M\bigl(M(a,m(b,c)),\\ &\qquad m(d,m(a,e))\bigr)= \end{aligned}

For distinct real numbers

x

and

y,

let

M(x,y)

be the larger of

x

and

y

and let

m(x,y)

be the smaller of

x

and

y.

If

a\lt b\lt c\lt d\lt e,

then

\begin{aligned} &M\bigl(M(a,m(b,c)),\\ &\qquad m(d,m(a,e))\bigr)= \end{aligned}

a

b

c

d

e

Respuesta: B

Conceptos:nested minimum and maximum inequalities

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Evalúa primero las expresiones

m

más internas

Evaluate the innermost

m

expressions first

Pista grande:

Los dos argumentos de la

M

exterior se reducen a

b

y

a

The two arguments of the outermost

M

reduce to

b

and

a

Solución:

Por el orden dado,

m(b,c)=b,

así que

M(a,m(b,c))=M(a,b)=b.

Además,

m(a,e)=a,

por lo que

m(d,m(a,e))=m(d,a)=a.

Por tanto, la expresión exterior es

M(b,a)=b.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

From the ordering,

m(b,c)=b,

so

M(a,m(b,c))=M(a,b)=b.

Also

m(a,e)=a,

hence

m(d,m(a,e))=m(d,a)=a.

The outer expression is therefore

M(b,a)=b.

Thus the correct answer is B.

11.

Tres cubos de volúmenes

1,

8

y

27

se pegan por sus caras. La menor área superficial posible de la figura resultante es

Three cubes of volume

1,

8

and

27

are glued together at their faces. The smallest possible surface area of the resulting configuration is

36

56

70

72

74

Respuesta: D

Conceptos:área de superficie cubes maximizing contact area

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Las longitudes de las aristas de los cubos son

1,2,

y

3

The cube side lengths are

1,2,

and

3

Pista grande:

Minimiza el área expuesta maximizando el área total de las porciones de caras pegadas

Minimize exposed area by maximizing the total areas of glued face portions

Solución:

Antes de pegar los cubos, el área superficial total es

6(1^2+2^2+3^2)=84.

El cubo de arista

2

puede compartir un área de

4

con el cubo de arista

3

, mientras que el cubo de arista

1

se coloca en la arista común de los otros dos para compartir un área de

1

con cada cubo mayor. Por tanto, el área total de contacto es

6.

Cada área pegada elimina dos copias expuestas, lo que da

84-2(6)=72.

Ningún par puede compartir más que la cara del cubo menor, así que este contacto es máximo y el área superficial es mínima. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Before gluing, the total surface area is

6(1^2+2^2+3^2)=84.

The side-

2

cube can share area

4

with the side-

3

cube, while the side-

1

cube is placed at their common edge so that it shares area

1

with each larger cube. Thus the total contact area is

6.

Each glued area removes two exposed copies, giving

84-2(6)=72.

No pair can share more than the smaller face, so this is maximal contact and minimal surface area. Thus the correct answer is D.

12.

Si

i^2=-1,

entonces

\left(i-i^{-1}\right)^{-1}=

If

i^2=-1,

then

\left(i-i^{-1}\right)^{-1}=

0

-2i

2i

-\frac{i}{2}

\frac{i}{2}

Respuesta: D

Conceptos:complex numbers reciprocals

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Usa

i^{-1}=-i

Use

i^{-1}=-i

Pista grande:

Después de simplificar el paréntesis, racionaliza

\frac{1}{2i}

After simplifying the parentheses, rationalize

\frac{1}{2i}

Solución:

Como

i^{-1}=-i,

\begin{aligned} \left(i-i^{-1}\right)^{-1} &=(i+i)^{-1}\\ &=\frac1{2i}\\ &=-\frac i2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

i^{-1}=-i,

\begin{aligned} \left(i-i^{-1}\right)^{-1} &=(i+i)^{-1}\\ &=\frac1{2i}\\ &=-\frac i2. \end{aligned}

Thus the correct answer is D.

13.

En el triángulo

ABC,

AB=AC.

Si hay un punto

P

estrictamente entre

A

y

B

tal que

AP=PC=CB,

entonces

\angle A=

In triangle

ABC,

AB=AC.

If there is a point

P

strictly between

A

and

B

such that

AP=PC=CB,

then

\angle A=

30^\circ

36^\circ

48^\circ

60^\circ

72^\circ

Respuesta: B

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sea

\angle A=\theta

y usa

AP=PC

en

\triangle APC

Let

\angle A=\theta

and use

AP=PC

in

\triangle APC

Pista grande:

Usa

PC=CB

para relacionar

\angle PCB

con un ángulo de la base de

\triangle ABC

Use

PC=CB

to relate

\angle PCB

to a base angle of

\triangle ABC

Solución:

Sea

\angle A=\theta.

Como

AP=PC,

el triángulo

APC

tiene

\angle PAC=\angle PCA=\theta.

Como

AB=AC,

cada ángulo de la base de

\triangle ABC

es

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Además,

PC=CB,

de modo que los ángulos de la base de

\triangle PCB

, en

P

y

B

, son iguales; el de

B

es

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Por consiguiente,

\angle PCB=\theta.

En

C,

2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2},

lo cual da

5\theta=180^\circ

y

\theta=36^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

\angle A=\theta.

Since

AP=PC,

triangle

APC

has

\angle PAC=\angle PCA=\theta.

Since

AB=AC,

each base angle of

\triangle ABC

is

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Also

PC=CB,

so the base angles of

\triangle PCB

at

P

and

B

are equal; the one at

B

is

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Hence

\angle PCB=\theta.

At

C,

2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2},

giving

5\theta=180^\circ

and

\theta=36^\circ.

Thus the correct answer is B.

14.

Halla la suma de la serie aritmética

20+20\frac15+20\frac25+\cdots+40.

Find the sum of the arithmetic series

20+20\frac15+20\frac25+\cdots+40.

3000

3030

3150

4100

6000

Respuesta: B

Conceptos:arithmetic series mixed numbers

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

La diferencia común es

\frac{1}{5}

The common difference is

\frac{1}{5}

Pista grande:

Halla el número de términos y luego multiplícalo por el promedio de los extremos

Find the number of terms, then multiply by the average of the endpoints

Solución:

El número de términos es

\frac{40-20}{\frac{1}{5}}+1=101.

Su promedio es

\frac{20+40}{2}=30,

así que la suma es

101\cdot30=3030.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number of terms is

\frac{40-20}{\frac{1}{5}}+1=101.

Their average is

\frac{20+40}{2}=30,

so the sum is

101\cdot30=3030.

Thus the correct answer is B.

15.

¿Para cuántos valores de

n

en

\{1,2,3,\ldots,100\}

es impar la cifra de las decenas de

n^2

?

For how many

n

in

\{1,2,3,\ldots,100\}

is the tens digit of

n^2

odd?

10

20

30

40

50

Respuesta: B

Conceptos:squares modulo 100 decimal digits

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

La paridad de la cifra de las decenas de

n^2

depende solo de la cifra de las unidades de

n

The parity of the tens digit of

n^2

depends only on the units digit of

n

Pista grande:

Examina los cuadrados de las diez cifras posibles de las unidades

Check the squares of the ten possible units digits

Solución:

Escribe

n=10a+b.

Módulo

100,

n^2\equiv20ab+b^2.

El término

20ab

cambia la cifra de las decenas en una cantidad par, así que solo importa la cifra de las decenas de

b^2

. Entre

b=0,1,\ldots,9,

esta es impar únicamente para

b=4

y

b=6.

Cada cifra de las unidades aparece

10

veces de

1

a

100,

lo que da

2\cdot10=20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write

n=10a+b.

Modulo

100,

n^2\equiv20ab+b^2.

The term

20ab

changes the tens digit by an even amount, so only the tens digit of

b^2

matters. Among

b=0,1,\ldots,9,

it is odd only for

b=4

and

b=6.

Each units digit occurs

10

times from

1

through

100,

giving

2\cdot10=20.

Thus the correct answer is B.

16.

En una bolsa hay algunas canicas rojas y el resto son azules. Si se retira una canica roja, entonces una séptima parte de las canicas restantes son rojas. Si en vez de una roja se retiran dos canicas azules, entonces una quinta parte de las canicas restantes son rojas. ¿Cuántas canicas había originalmente en la bolsa?

Some marbles in a bag are red and the rest are blue. If one red marble is removed, then one-seventh of the remaining marbles are red. If two blue marbles are removed instead of one red, then one-fifth of the remaining marbles are red. How many marbles were in the bag originally?

8

22

36

57

71

Respuesta: B

Conceptos:systems of equations proportions

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Sea

R

el número de canicas rojas y

T

el número total de canicas

Let

R

be the red count and

T

the total count

Pista grande:

Traduce los dos experimentos como

\frac{R-1}{T-1}=\frac{1}{7}

y

\frac{R}{T-2}=\frac{1}{5}

Translate the two experiments into

\frac{R-1}{T-1}=\frac{1}{7}

and

\frac{R}{T-2}=\frac{1}{5}

Solución:

Las dos condiciones dan

\frac{R-1}{T-1}=\frac17

y

\frac{R}{T-2}=\frac15.

Por tanto,

T=7R-6

y

T=5R+2.

De aquí,

R=4

y

T=22.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two conditions give

\frac{R-1}{T-1}=\frac17

and

\frac{R}{T-2}=\frac15.

Thus

T=7R-6

and

T=5R+2.

Hence

R=4

and

T=22.

Thus the correct answer is B.

17.

Un rectángulo de

8

por

2\sqrt2

tiene el mismo centro que un círculo de radio

2.

El área de la región común al rectángulo y al círculo es

An

8

by

2\sqrt2

rectangle has the same center as a circle of radius

2.

The area of the region common to both the rectangle and the circle is

2\pi

2\pi+2

4\pi-4

2\pi+4

4\pi-2

Respuesta: D

Conceptos:circle segments área simetría

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

El rectángulo elimina dos segmentos circulares congruentes del círculo

The rectangle removes two congruent caps from the circle

Pista grande:

La cuerda de cada segmento está a distancia

\sqrt2

del centro, por lo que la mitad de su ángulo central es

45^\circ

The cap chord is at distance

\sqrt2

from the center, so its half central angle is

45^\circ

Solución:

El rectángulo es más ancho que el círculo, así que la región común es el círculo sin los segmentos superior e inferior situados más allá de la distancia

\sqrt2

del centro. Uno de esos segmentos tiene área

\begin{aligned} 2^2\left(\frac{\pi}{4}\right) &-\sqrt2\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}\\ &=\pi-2. \end{aligned}

Por lo tanto, el área común es

4\pi-2(\pi-2)=2\pi+4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The rectangle is wider than the circle, so the common region is the circle with the top and bottom caps beyond distance

\sqrt2

from the center removed. One cap has area

\begin{aligned} 2^2\left(\frac{\pi}{4}\right) &-\sqrt2\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}\\ &=\pi-2. \end{aligned}

Therefore the common area is

4\pi-2(\pi-2)=2\pi+4.

Thus the correct answer is D.

18.

El triángulo

ABC

está inscrito en un círculo, y

\angle B=\angle C=4\angle A.

Si

B

y

C

son vértices adyacentes de un polígono regular de

n

lados inscrito en este círculo, entonces

n=

Triangle

ABC

is inscribed in a circle, and

\angle B=\angle C=4\angle A.

If

B

and

C

are adjacent vertices of a regular polygon of

n

sides inscribed in this circle, then

n=

5

7

9

15

18

Respuesta: C

Conceptos:inscribed angles regular polygons

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Usa la suma de los ángulos del triángulo para hallar

\angle A

Use the triangle angle sum to find

\angle A

Pista grande:

El ángulo central que subtiende

\overline{BC}

es el doble de

\angle A

The central angle subtending

\overline{BC}

is twice

\angle A

Solución:

La suma de los ángulos da

9\angle A=180^\circ,

así que

\angle A=20^\circ.

Por tanto, el ángulo central que subtiende la cuerda

\overline{BC}

es

40^\circ.

Los vértices adyacentes de un

n

-gono regular subtienden un ángulo de

\frac{360^\circ}{n},

de modo que

\frac{360^\circ}{n}=40^\circ,

y

n=9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The angle sum gives

9\angle A=180^\circ,

so

\angle A=20^\circ.

The central angle subtending chord

\overline{BC}

is therefore

40^\circ.

Adjacent vertices of a regular

n

-gon subtend

\frac{360^\circ}{n},

so

\frac{360^\circ}{n}=40^\circ,

and

n=9.

Thus the correct answer is C.

19.

Se rotula un disco con “

1

”, dos discos con “

2

”, tres discos con “

3

”,

\ldots,

y cincuenta discos con “

50

”. Se colocan estos

1+2+3+\cdots+50=1275

discos rotulados en una caja. Luego se extraen discos de la caja al azar y sin reemplazo. El número mínimo de discos que se deben extraer para garantizar que se obtengan al menos diez con el mismo rótulo es

Label one disk “

1

,” two disks “

2

,” three disks “

3

,”

\ldots,

fifty disks “

50

.” Put these

1+2+3+\cdots+50=1275

labeled disks in a box. Disks are then drawn from the box at random without replacement. The minimum number of disks that must be drawn to guarantee drawing at least ten disks with the same label is

10

51

415

451

501

Respuesta: C

Conceptos:principio del palomar extremal counting

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Cuenta el máximo número de discos que se puede extraer tomando como máximo nueve de cada rótulo

Count the most disks that can be drawn while taking at most nine of each label

Pista grande:

Se pueden extraer todos los discos rotulados del

1

al

9

, pero solo nueve de cada rótulo del

10

al

50

All disks labeled

1

through

9

may be drawn, but only nine of each label

10

through

50

Solución:

Para evitar diez rótulos iguales, se pueden extraer todos los

1+2+\cdots+9=45

discos con rótulos menores que

10,

y como máximo

9

de cada uno de los

41

rótulos del

10

al

50.

Por tanto, se pueden extraer

45+9(41)=414

discos sin que necesariamente haya diez iguales, y la siguiente extracción los garantiza. El mínimo es

415.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

To avoid ten equal labels, one may draw all

1+2+\cdots+9=45

disks with labels below

10,

and at most

9

from each of the

41

labels

10

through

50.

Thus

45+9(41)=414

disks can be drawn without forcing ten alike, and the next draw guarantees them. The minimum is

415.

Thus the correct answer is C.

20.

Supón que

x,

y,

z

forman una sucesión geométrica de razón común

r

y que

x\ne y.

Si

x,

2y,

3z

forman una sucesión aritmética, entonces

r

es

Suppose

x,

y,

z

is a geometric sequence with common ratio

r

and

x\ne y.

If

x,

2y,

3z

is an arithmetic sequence, then

r

is

\frac14

\frac13

\frac12

2

4

Respuesta: B

Conceptos:geometric sequences arithmetic sequences quadratic equations

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Escribe

y=xr

y

z=xr^2

Write

y=xr

and

z=xr^2

Pista grande:

La condición de sucesión aritmética es

4y=x+3z

The arithmetic-sequence condition is

4y=x+3z

Solución:

Como

y=xr

y

z=xr^2,

la condición de sucesión aritmética da

4xr=x+3xr^2.

Aquí

x\ne0,

así que

3r^2-4r+1=0,

lo cual produce

r=1

o

r=\frac{1}{3}.

La condición

x\ne y

excluye

r=1,

por lo que queda

r=\frac{1}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because

y=xr

and

z=xr^2,

the arithmetic-sequence condition gives

4xr=x+3xr^2.

Here

x\ne0,

so

3r^2-4r+1=0,

yielding

r=1

or

r=\frac{1}{3}.

The condition

x\ne y

excludes

r=1,

leaving

r=\frac{1}{3}.

Thus the correct answer is B.

21.

Halla el número de contraejemplos de la afirmación:

“Si

N

es un entero positivo impar cuya suma de cifras es

4

y ninguna de sus cifras es

0,

entonces

N

es primo”.

Find the number of counterexamples to the statement:

“If

N

is an odd positive integer the sum of whose digits is

4

and none of whose digits is

0,

then

N

is prime.”

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:digit sums primality enumeration

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Un número que satisface las condiciones sobre sus cifras tiene como máximo cuatro cifras

A number satisfying the digit conditions has at most four digits

Pista grande:

Enumera las posibilidades impares componiendo

4

como suma de cifras positivas

List the odd possibilities by composing

4

into positive digits

Solución:

Las posibilidades impares son

13,31,121,211,

y

1111.

Los números

13,31,

y

211

son primos, mientras que

121=11^2

y

1111=11\cdot101.

Por tanto, hay

2

contraejemplos. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The odd possibilities are

13,31,121,211,

and

1111.

The numbers

13,31,

and

211

are prime, while

121=11^2

and

1111=11\cdot101.

Thus there are

2

counterexamples. Thus the correct answer is C.

22.

Nueve sillas en fila serán ocupadas por seis estudiantes y los profesores Alfa, Beta y Gamma. Los tres profesores llegan antes que los seis estudiantes y deciden elegir sus sillas de modo que cada profesor quede entre dos estudiantes. ¿De cuántas maneras pueden elegir sus sillas los profesores Alfa, Beta y Gamma?

Nine chairs in a row are to be occupied by six students and Professors Alpha, Beta and Gamma. These three professors arrive before the six students and decide to choose their chairs so that each professor will be between two students. In how many ways can Professors Alpha, Beta and Gamma choose their chairs?

12

36

60

84

630

Respuesta: C

Conceptos:seating arrangements nonconsecutive selections

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Las sillas de los profesores no pueden estar en los extremos ni ser adyacentes

Professor chairs cannot be endpoints or adjacent to one another

Pista grande:

Primero elige tres posiciones no consecutivas entre las sillas

2

a

8

, y luego asigna los profesores

First choose three nonconsecutive positions from chairs

2

through

8

, then assign the professors

Solución:

Los profesores deben ocupar tres posiciones no consecutivas entre las sillas

2,3,\ldots,8.

El número de tales subconjuntos de

3

elementos entre

7

posiciones consecutivas es

\binom{7-3+1}{3}=\binom53=10.

Los tres profesores distintos se pueden asignar a las sillas elegidas de

3!=6

maneras, lo que da

10\cdot6=60.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The professors must occupy three nonconsecutive positions among chairs

2,3,\ldots,8.

The number of such

3

-subsets of

7

consecutive positions is

\binom{7-3+1}{3}=\binom53=10.

The three distinct professors can be assigned to the selected chairs in

3!=6

ways, for

10\cdot6=60.

Thus the correct answer is C.

23.

En el plano

xy

, considera la región en forma de L delimitada por segmentos horizontales y verticales, con vértices en

(0,0),

(0,3),

(3,3),

(3,1),

(5,1)

y

(5,0).

La pendiente de la recta que pasa por el origen y divide exactamente por la mitad el área de esta región es

In the

xy

-plane, consider the L-shaped region bounded by horizontal and vertical segments with vertices at

(0,0),

(0,3),

(3,3),

(3,1),

(5,1)

and

(5,0).

The slope of the line through the origin that divides the area of this region exactly in half is

\frac27

\frac13

\frac23

\frac34

\frac79

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica area bisectors pendiente

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

La región en forma de L tiene área total

11

The L-shaped region has total area

11

Pista grande:

Para la pendiente buscada

m,

el área bajo la recta es la extensión de

2

unidades más un triángulo de base

3

For the desired slope

m,

the area below the line is the

2

-unit extension plus a triangle of base

3

Solución:

La región tiene área

3\cdot3+2\cdot1=11,

por lo que cada mitad tiene área

\frac{11}{2}.

Si la recta es

y=mx,

la parte bajo ella consta de todo el rectángulo de

2

unidades desde

x=3

hasta

x=5,

junto con un triángulo de base

3

y altura

3m.

Por tanto,

2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.

Esto da

m=\frac{7}{9},

que efectivamente pertenece al intervalo supuesto. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The region has area

3\cdot3+2\cdot1=11,

so each half has area

\frac{11}{2}.

If the line is

y=mx,

the part below it consists of the entire

2

-unit rectangle from

x=3

to

x=5,

together with a triangle of base

3

and height

3m.

Therefore

2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.

This gives

m=\frac{7}{9},

which indeed lies in the assumed range. Thus the correct answer is E.

24.

Una muestra de cinco observaciones tiene media aritmética

10

y mediana

12.

El menor valor que puede tomar el rango (observación mayor menos observación menor) de tal muestra es

A sample consisting of five observations has an arithmetic mean of

10

and a median of

12.

The smallest value that the range (largest observation minus smallest) can assume for such a sample is

2

3

5

7

10

Respuesta: C

Conceptos:media median rango extremal construction

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Ordena las observaciones como

a\le b\le12\le d\le e

Order the observations as

a\le b\le12\le d\le e

Pista grande:

Usa la suma total

50

y luego comprueba si es posible un rango menor que

5

Use the total sum

50

, then test whether a range below

5

is possible

Solución:

La muestra

7,7,12,12,12

tiene suma

50,

mediana

12,

y rango

5,

así que el rango

5

es posible. Supón que el rango fuera a lo sumo

4.

Si el valor mayor fuera a lo sumo

12,

los tres valores superiores serían

12,

dejando suma

14

para los dos inferiores; sin embargo, cada uno sería al menos

8,

una contradicción. Si el valor mayor excediera

12,

el menor excedería

8,

y la suma sería mayor que

8+8+12+12+12=52.

Así, ningún rango menor funciona. La respuesta correcta es C.

The sample

7,7,12,12,12

has sum

50,

median

12,

and range

5,

so range

5

is possible. Suppose the range were at most

4.

If the largest value were at most

12,

then the top three values would all be

12,

leaving the bottom two with sum

14;

yet each would be at least

8,

a contradiction. If the largest value exceeded

12,

then the smallest would exceed

8,

making the total exceed

8+8+12+12+12=52.

Thus no smaller range works. The correct answer is C.

25.

Si

x

y

y

son números reales no nulos tales que

|x|+y=3

y

|x|y+x^3=0,

entonces el entero más cercano a

x-y

es

If

x

and

y

are non-zero real numbers such that

|x|+y=3

and

|x|y+x^3=0,

then the integer nearest to

x-y

is

-3

-1

2

3

5

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto systems of equations

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Considera por separado los signos de

x

Consider the signs of

x

separately

Pista grande:

Para

x\lt0,

pon

t=-x

y combina

y=t^2

con

t+y=3

For

x\lt0,

put

t=-x

and combine

y=t^2

with

t+y=3

Solución:

Si

x\gt0,

la segunda ecuación da

y=-x^2,

mientras que la primera da

y=3-x;

esto exigiría

x^2-x+3=0,

que no tiene raíces reales. Por tanto,

x\lt0.

Pon

t=-x\gt0.

Entonces las ecuaciones se convierten en

t+y=3

y

ty-t^3=0,

de modo que

y=t^2.

Por consiguiente,

x-y=-t-t^2=-3,

que ya es un entero. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If

x\gt0,

the second equation gives

y=-x^2,

while the first gives

y=3-x;

these would require

x^2-x+3=0,

which has no real root. Hence

x\lt0.

Put

t=-x\gt0.

Then the equations become

t+y=3

and

ty-t^3=0,

so

y=t^2.

Therefore

x-y=-t-t^2=-3,

already an integer. Thus the correct answer is A.

26.

Un polígono regular de

m

lados está rodeado exactamente (sin superposiciones ni huecos) por

m

polígonos regulares de

n

lados cada uno. (Se muestra el caso

m=4,

n=8.

) Si

m=10,

¿cuál es el valor de

n

?

A regular polygon of

m

sides is exactly enclosed (no overlaps, no gaps) by

m

regular polygons of

n

sides each. (Shown here for

m=4,

n=8.

) If

m=10,

what is the value of

n?

5

6

14

20

26

Respuesta: A

Conceptos:regular polygons interior angles angle sums

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

En cada vértice del polígono interior, un ángulo del

m

-gono y dos ángulos de los

n

-gonos suman

360^\circ

At each vertex of the inner polygon, one

m

-gon angle and two

n

-gon angles fill

360^\circ

Pista grande:

Usa para un

k

-gono regular el ángulo interior

180^\circ(1-\frac{2}{k})

Use the regular

k

-gon interior angle

180^\circ(1-\frac{2}{k})

Solución:

En un vértice del polígono interior, su ángulo interior y dos ángulos de los polígonos circundantes suman

360^\circ.

Por tanto,

\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ. \end{gathered}

Esto se simplifica a

\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}.

Con

m=10,

se obtiene

\frac{2}{n}=\frac{2}{5},

así que

n=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

At a vertex of the inner polygon, its interior angle and two angles from the surrounding polygons total

360^\circ.

Thus

\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ. \end{gathered}

This simplifies to

\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}.

With

m=10,

we get

\frac{2}{n}=\frac{2}{5},

so

n=5.

Thus the correct answer is A.

27.

Una bolsa de maíz para palomitas contiene

\frac{2}{3}

de granos blancos y

\frac{1}{3}

de granos amarillos. Solo

\frac{1}{2}

de los granos blancos reventarán, mientras que

\frac{2}{3}

de los amarillos reventarán. Se elige un grano al azar de la bolsa y este revienta al ponerlo en la máquina. ¿Cuál es la probabilidad de que el grano elegido fuera blanco?

A bag of popping corn contains

\frac{2}{3}

white kernels and

\frac{1}{3}

yellow kernels. Only

\frac{1}{2}

of the white kernels will pop, whereas

\frac{2}{3}

of the yellow ones will pop. A kernel is selected at random from the bag, and pops when placed in the popper. What is the probability that the kernel selected was white?

\frac12

\frac59

\frac47

\frac35

\frac23

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad condicional Bayes’ theorem

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Calcula para cada color la probabilidad de elegir un grano y que reviente

Compute the probabilities of selecting-and-popping for each color

Pista grande:

Condiciona la probabilidad de elegir un grano blanco que revienta a la probabilidad total de que reviente

Condition the white-and-popped probability on the total probability of popping

Solución:

Las probabilidades de elegir un grano que revienta son

\begin{gathered} P(W\text{ y revienta})=\frac23\cdot\frac12=\frac13, \\ P(Y\text{ y revienta})=\frac13\cdot\frac23=\frac29. \end{gathered}

Por consiguiente,

P(\text{revienta})=\frac{5}{9},

y

P(W\mid\text{revienta})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac35.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The probabilities of selecting a kernel that pops are

\begin{gathered} P(W\text{ and pop})=\frac23\cdot\frac12=\frac13, \\ P(Y\text{ and pop})=\frac13\cdot\frac23=\frac29. \end{gathered}

Hence

P(\text{pop})=\frac{5}{9},

and

P(W\mid\text{pop})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac35.

Thus the correct answer is D.

28.

En el plano

xy

, ¿cuántas rectas cuyo intercepto con el eje

x

es un número primo positivo y cuyo intercepto con el eje

y

es un entero positivo pasan por el punto

(4,3)

?

In the

xy

-plane, how many lines whose

x

-intercept is a positive prime number and whose

y

-intercept is a positive integer pass through the point

(4,3)?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:intercept form primes divisibilidad

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sean

p

y

q

los interceptos, y usa

\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1

Let the intercepts be

p

and

q

, and use

\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1

Pista grande:

Despeja

q=3+\frac{12}{p-4}

Rearrange to

q=3+\frac{12}{p-4}

Solución:

Sea el intercepto con el eje

x

el primo

p

y el intercepto con el eje

y

el entero positivo

q.

La forma de interceptos da

\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4}. \end{gathered}

Por tanto,

p-4

es un divisor positivo de

12.

Al probar

1,2,3,4,6,12

, se obtiene un

p

primo solo para

p=5

y

p=7.

Por consiguiente, hay

2

rectas. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the

x

-intercept be the prime

p

and the

y

-intercept be the positive integer

q.

Intercept form gives

\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4}. \end{gathered}

Thus

p-4

is a positive divisor of

12.

Testing

1,2,3,4,6,12

gives prime

p

only for

p=5

and

p=7.

Therefore there are

2

lines. Thus the correct answer is C.

29.

Los puntos

A,

B

y

C

de un círculo de radio

r

están situados de modo que

AB=AC,

AB\gt r,

y la longitud del arco menor

\overset{\frown}{BC}

es

r.

Si los ángulos se miden en radianes, entonces

\frac{AB}{BC}=

Points

A,

B

and

C

on a circle of radius

r

are situated so that

AB=AC,

AB\gt r,

and the length of minor arc

\overset{\frown}{BC}

is

r.

If angles are measured in radians, then

\frac{AB}{BC}=

\frac12\csc\frac14

2\cos\frac12

4\sin\frac12

\csc\frac12

2\sec\frac12

Respuesta: A

Conceptos:arc length chord length trigonometric identities

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

El arco menor

\overset{\frown}{BC}

subtiende un ángulo central de

1

radián

The minor arc

\overset{\frown}{BC}

subtends a central angle of

1

radian

Pista grande:

Usa la fórmula de la cuerda

2r\sin(\frac{\theta}{2})

tanto para

BC

como para

AB

Use the chord formula

2r\sin(\frac{\theta}{2})

for both

BC

and

AB

Solución:

El ángulo central que subtiende el arco menor

\overset{\frown}{BC}

es

\frac{r}{r}=1,

así que

BC=2r\sin\frac12.

Como

AB=AC

y

AB\gt r,

el punto

A

es el punto medio del arco mayor

BC.

El ángulo central menor de

A

a

B

es

\pi-\frac12,

por lo que

AB=2r

\sin\left(\frac{\pi-\frac{1}{2}}{2}\right)=2r\cos\frac14.

Por tanto,

\frac{AB}{BC}=\frac{\cos(\frac{1}{4})}{\sin(\frac{1}{2})}

=\frac1{2\sin(\frac{1}{4})}=\frac12\csc\frac14.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The central angle subtending minor arc

\overset{\frown}{BC}

is

\frac{r}{r}=1,

so

BC=2r\sin\frac12.

Since

AB=AC

and

AB\gt r,

point

A

is the midpoint of the major arc

BC.

The minor central angle from

A

to

B

is

\pi-\frac12,

so

AB=2r

\sin\left(\frac{\pi-\frac{1}{2}}{2}\right)=2r\cos\frac14.

Therefore

\frac{AB}{BC}=\frac{\cos(\frac{1}{4})}{\sin(\frac{1}{2})}

=\frac1{2\sin(\frac{1}{4})}=\frac12\csc\frac14.

Thus the correct answer is A.

30.

Al lanzar

n

dados estándar de

6

caras, la probabilidad de obtener una suma de

1994

es mayor que cero e igual a la probabilidad de obtener una suma de

S.

El menor valor posible de

S

es

When

n

standard

6

-sided dice are rolled, the probability of obtaining a sum of

1994

is greater than zero and is the same as the probability of obtaining a sum of

S.

The smallest possible value of

S

is

333

335

337

339

341

Respuesta: C

Conceptos:dice sums simetría extremal values

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Una suma de

1994

solo es posible si

6n\ge1994

A sum of

1994

is possible only when

6n\ge1994

Pista grande:

Reemplazar el valor

d

de cada dado por

7-d

empareja las sumas

T

y

7n-T

Replacing every die value

d

by

7-d

pairs sums

T

and

7n-T

Solución:

El menor número factible de dados es

n=\left\lceil\frac{1994}{6}\right\rceil=333.

Reemplazar cada resultado

d

por

7-d

es una biyección entre los resultados con suma

T

y los resultados con suma

7n-T.

Así, para

n=333,

la suma emparejada con

1994

es

S=7(333)-1994=337.

Los números de resultados para las sumas aumentan estrictamente desde la suma mínima hasta la media, por lo que para cualquier

n

factible ninguna suma menor que

337

puede tener el mismo número de resultados que

1994.

Por tanto, el menor valor es

337,

y la respuesta correcta es C.

The smallest feasible number of dice is

n=\left\lceil\frac{1994}{6}\right\rceil=333.

Replacing every die result

d

by

7-d

is a bijection between outcomes of sum

T

and outcomes of sum

7n-T.

Thus for

n=333,

the sum paired with

1994

is

S=7(333)-1994=337.

Dice-sum counts increase strictly from the minimum sum up to the mean, so for any feasible

n

no sum below

337

can match the count at

1994.

Thus the smallest value is

337,

and the correct answer is C.

Problemas del 1994 AMC 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Pista grande: