1994 AMC 12 Problema 11

Question

Tres cubos de volúmenes

1,

8

y

27

se pegan por sus caras. La menor área superficial posible de la figura resultante es

Three cubes of volume

1,

8

and

27

are glued together at their faces. The smallest possible surface area of the resulting configuration is

36

56

70

72

74

Respuesta: D

Conceptos:área de superficie cubes maximizing contact area

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Las longitudes de las aristas de los cubos son

1,2,

y

3

The cube side lengths are

1,2,

and

3

Pista grande:

Minimiza el área expuesta maximizando el área total de las porciones de caras pegadas

Minimize exposed area by maximizing the total areas of glued face portions

Solución:

Antes de pegar los cubos, el área superficial total es

6(1^2+2^2+3^2)=84.

El cubo de arista

2

puede compartir un área de

4

con el cubo de arista

3

, mientras que el cubo de arista

1

se coloca en la arista común de los otros dos para compartir un área de

1

con cada cubo mayor. Por tanto, el área total de contacto es

6.

Cada área pegada elimina dos copias expuestas, lo que da

84-2(6)=72.

Ningún par puede compartir más que la cara del cubo menor, así que este contacto es máximo y el área superficial es mínima. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Before gluing, the total surface area is

6(1^2+2^2+3^2)=84.

The side-

2

cube can share area

4

with the side-

3

cube, while the side-

1

cube is placed at their common edge so that it shares area

1

with each larger cube. Thus the total contact area is

6.

Each glued area removes two exposed copies, giving

84-2(6)=72.

No pair can share more than the smaller face, so this is maximal contact and minimal surface area. Thus the correct answer is D.