1994 AMC 12 Problema 13

Question

En el triángulo

ABC,

AB=AC.

Si hay un punto

P

estrictamente entre

A

y

B

tal que

AP=PC=CB,

entonces

\angle A=

In triangle

ABC,

AB=AC.

If there is a point

P

strictly between

A

and

B

such that

AP=PC=CB,

then

\angle A=

30^\circ

36^\circ

48^\circ

60^\circ

72^\circ

Respuesta: B

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sea

\angle A=\theta

y usa

AP=PC

en

\triangle APC

Let

\angle A=\theta

and use

AP=PC

in

\triangle APC

Pista grande:

Usa

PC=CB

para relacionar

\angle PCB

con un ángulo de la base de

\triangle ABC

Use

PC=CB

to relate

\angle PCB

to a base angle of

\triangle ABC

Solución:

Sea

\angle A=\theta.

Como

AP=PC,

el triángulo

APC

tiene

\angle PAC=\angle PCA=\theta.

Como

AB=AC,

cada ángulo de la base de

\triangle ABC

es

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Además,

PC=CB,

de modo que los ángulos de la base de

\triangle PCB

, en

P

y

B

, son iguales; el de

B

es

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Por consiguiente,

\angle PCB=\theta.

En

C,

2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2},

lo cual da

5\theta=180^\circ

y

\theta=36^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

\angle A=\theta.

Since

AP=PC,

triangle

APC

has

\angle PAC=\angle PCA=\theta.

Since

AB=AC,

each base angle of

\triangle ABC

is

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Also

PC=CB,

so the base angles of

\triangle PCB

at

P

and

B

are equal; the one at

B

is

\frac{180^\circ-\theta}{2}.

Hence

\angle PCB=\theta.

At

C,

2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2},

giving

5\theta=180^\circ

and

\theta=36^\circ.

Thus the correct answer is B.