1994 AMC 12 Problema 25

Question

Si

x

y

y

son números reales no nulos tales que

|x|+y=3

y

|x|y+x^3=0,

entonces el entero más cercano a

x-y

es

If

x

and

y

are non-zero real numbers such that

|x|+y=3

and

|x|y+x^3=0,

then the integer nearest to

x-y

is

-3

-1

2

3

5

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto systems of equations

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Considera por separado los signos de

x

Consider the signs of

x

separately

Pista grande:

Para

x\lt0,

pon

t=-x

y combina

y=t^2

con

t+y=3

For

x\lt0,

put

t=-x

and combine

y=t^2

with

t+y=3

Solución:

Si

x\gt0,

la segunda ecuación da

y=-x^2,

mientras que la primera da

y=3-x;

esto exigiría

x^2-x+3=0,

que no tiene raíces reales. Por tanto,

x\lt0.

Pon

t=-x\gt0.

Entonces las ecuaciones se convierten en

t+y=3

y

ty-t^3=0,

de modo que

y=t^2.

Por consiguiente,

x-y=-t-t^2=-3,

que ya es un entero. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If

x\gt0,

the second equation gives

y=-x^2,

while the first gives

y=3-x;

these would require

x^2-x+3=0,

which has no real root. Hence

x\lt0.

Put

t=-x\gt0.

Then the equations become

t+y=3

and

ty-t^3=0,

so

y=t^2.

Therefore

x-y=-t-t^2=-3,

already an integer. Thus the correct answer is A.