1994 AMC 12 Problema 17

Question

Un rectángulo de

8

por

2\sqrt2

tiene el mismo centro que un círculo de radio

2.

El área de la región común al rectángulo y al círculo es

An

8

by

2\sqrt2

rectangle has the same center as a circle of radius

2.

The area of the region common to both the rectangle and the circle is

2\pi

2\pi+2

4\pi-4

2\pi+4

4\pi-2

Respuesta: D

Conceptos:circle segments área simetría

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

El rectángulo elimina dos segmentos circulares congruentes del círculo

The rectangle removes two congruent caps from the circle

Pista grande:

La cuerda de cada segmento está a distancia

\sqrt2

del centro, por lo que la mitad de su ángulo central es

45^\circ

The cap chord is at distance

\sqrt2

from the center, so its half central angle is

45^\circ

Solución:

El rectángulo es más ancho que el círculo, así que la región común es el círculo sin los segmentos superior e inferior situados más allá de la distancia

\sqrt2

del centro. Uno de esos segmentos tiene área

\begin{aligned} 2^2\left(\frac{\pi}{4}\right) &-\sqrt2\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}\\ &=\pi-2. \end{aligned}

Por lo tanto, el área común es

4\pi-2(\pi-2)=2\pi+4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The rectangle is wider than the circle, so the common region is the circle with the top and bottom caps beyond distance

\sqrt2

from the center removed. One cap has area

\begin{aligned} 2^2\left(\frac{\pi}{4}\right) &-\sqrt2\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}\\ &=\pi-2. \end{aligned}

Therefore the common area is

4\pi-2(\pi-2)=2\pi+4.

Thus the correct answer is D.