1994 AMC 12 Problema 24

Question

Una muestra de cinco observaciones tiene media aritmética

10

y mediana

12.

El menor valor que puede tomar el rango (observación mayor menos observación menor) de tal muestra es

A sample consisting of five observations has an arithmetic mean of

10

and a median of

12.

The smallest value that the range (largest observation minus smallest) can assume for such a sample is

2

3

5

7

10

Respuesta: C

Conceptos:media median rango extremal construction

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Ordena las observaciones como

a\le b\le12\le d\le e

Order the observations as

a\le b\le12\le d\le e

Pista grande:

Usa la suma total

50

y luego comprueba si es posible un rango menor que

5

Use the total sum

50

, then test whether a range below

5

is possible

Solución:

La muestra

7,7,12,12,12

tiene suma

50,

mediana

12,

y rango

5,

así que el rango

5

es posible. Supón que el rango fuera a lo sumo

4.

Si el valor mayor fuera a lo sumo

12,

los tres valores superiores serían

12,

dejando suma

14

para los dos inferiores; sin embargo, cada uno sería al menos

8,

una contradicción. Si el valor mayor excediera

12,

el menor excedería

8,

y la suma sería mayor que

8+8+12+12+12=52.

Así, ningún rango menor funciona. La respuesta correcta es C.

The sample

7,7,12,12,12

has sum

50,

median

12,

and range

5,

so range

5

is possible. Suppose the range were at most

4.

If the largest value were at most

12,

then the top three values would all be

12,

leaving the bottom two with sum

14;

yet each would be at least

8,

a contradiction. If the largest value exceeded

12,

then the smallest would exceed

8,

making the total exceed

8+8+12+12+12=52.

Thus no smaller range works. The correct answer is C.