1994 AMC 12 Problema 23

Question

En el plano

xy

, considera la región en forma de L delimitada por segmentos horizontales y verticales, con vértices en

(0,0),

(0,3),

(3,3),

(3,1),

(5,1)

y

(5,0).

La pendiente de la recta que pasa por el origen y divide exactamente por la mitad el área de esta región es

In the

xy

-plane, consider the L-shaped region bounded by horizontal and vertical segments with vertices at

(0,0),

(0,3),

(3,3),

(3,1),

(5,1)

and

(5,0).

The slope of the line through the origin that divides the area of this region exactly in half is

\frac27

\frac13

\frac23

\frac34

\frac79

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica area bisectors pendiente

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

La región en forma de L tiene área total

11

The L-shaped region has total area

11

Pista grande:

Para la pendiente buscada

m,

el área bajo la recta es la extensión de

2

unidades más un triángulo de base

3

For the desired slope

m,

the area below the line is the

2

-unit extension plus a triangle of base

3

Solución:

La región tiene área

3\cdot3+2\cdot1=11,

por lo que cada mitad tiene área

\frac{11}{2}.

Si la recta es

y=mx,

la parte bajo ella consta de todo el rectángulo de

2

unidades desde

x=3

hasta

x=5,

junto con un triángulo de base

3

y altura

3m.

Por tanto,

2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.

Esto da

m=\frac{7}{9},

que efectivamente pertenece al intervalo supuesto. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The region has area

3\cdot3+2\cdot1=11,

so each half has area

\frac{11}{2}.

If the line is

y=mx,

the part below it consists of the entire

2

-unit rectangle from

x=3

to

x=5,

together with a triangle of base

3

and height

3m.

Therefore

2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.

This gives

m=\frac{7}{9},

which indeed lies in the assumed range. Thus the correct answer is E.