1994 AMC 12 Problema 28

Question

En el plano

xy

, ¿cuántas rectas cuyo intercepto con el eje

x

es un número primo positivo y cuyo intercepto con el eje

y

es un entero positivo pasan por el punto

(4,3)

?

In the

xy

-plane, how many lines whose

x

-intercept is a positive prime number and whose

y

-intercept is a positive integer pass through the point

(4,3)?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:intercept form primes divisibilidad

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sean

p

y

q

los interceptos, y usa

\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1

Let the intercepts be

p

and

q

, and use

\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1

Pista grande:

Despeja

q=3+\frac{12}{p-4}

Rearrange to

q=3+\frac{12}{p-4}

Solución:

Sea el intercepto con el eje

x

el primo

p

y el intercepto con el eje

y

el entero positivo

q.

La forma de interceptos da

\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4}. \end{gathered}

Por tanto,

p-4

es un divisor positivo de

12.

Al probar

1,2,3,4,6,12

, se obtiene un

p

primo solo para

p=5

y

p=7.

Por consiguiente, hay

2

rectas. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the

x

-intercept be the prime

p

and the

y

-intercept be the positive integer

q.

Intercept form gives

\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4}. \end{gathered}

Thus

p-4

is a positive divisor of

12.

Testing

1,2,3,4,6,12

gives prime

p

only for

p=5

and

p=7.

Therefore there are

2

lines. Thus the correct answer is C.