1957 AMC 12 第 35 题

Question

直角三角形

ABC

的边

\overline{AC}

被分成

8

等份。从七个分点分别向

\overline{AB}

作平行于

\overline{BC}

的线段。若

BC=10

，则这七条线段的长度之和：

Side

\overline{AC}

of right triangle

ABC

is divided into

8

equal parts. Seven line segments parallel to

\overline{BC}

are drawn to

\overline{AB}

from the points of division. If

BC=10,

then the sum of the lengths of the seven line segments:

无法由已知条件求出

cannot be found from the given information

为

33

is

33

为

34

is

34

为

35

is

35

为

45

is

45

答案：D

知识点：相似等差数列求和

难度评级：1530

小提示：

每个以

A

为顶点的小三角形都与三角形

ABC

相似

Each small triangle with vertex

A

is similar to triangle

ABC

大提示：

七条平行线段的长度为

\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}

The seven parallel lengths are

\frac{10}{8},\frac{20}{8},\ldots,\frac{70}{8}

解答：

由相似性可知，当

k=1,\ldots,7

时，第

k

个分点处的线段长为

\frac{10k}{8}

。它们的和为

\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

By similarity, the segment at the

k

th division point has length

\frac{10k}{8}

for

k=1,\ldots,7.

Their sum is

\begin{aligned} \frac{10}{8}(1+2+\cdots+7) &=\frac{10}{8}\cdot28\\ &=35. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

1957 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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