1962 AMC 12 第 38 题

Question

诺萨奇镇的人口曾经是一个完全平方数。后来人口增加

100

后，比某个完全平方数多一。现在人口又增加

100

，再次成为完全平方数。

原来的人口是下列哪个数的倍数：

The population of Nosuch Junction at one time was a perfect square. Later, with an increase of

100,

the population was one more than a perfect square. Now, with an additional increase of

100,

the population is again a perfect square.

The original population is a multiple of:

3

7

9

11

17

答案：B

知识点：平方差完全平方数因数系统列举

难度评级：1980

小提示：

将三个人口数分别写成

a^2

、

b^2+1

和

c^2

Write the populations as

a^2,

b^2+1,

and

c^2

大提示：

从

b^2-a^2=99

出发，检验

99

的正因数对，再加入条件

c^2-a^2=200

From

b^2-a^2=99,

test the positive factor pairs of

99

, then impose

c^2-a^2=200

解答：

设原来的人口为

a^2

。则

\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200\text{。} \end{aligned}

由

(b-a)(b+a)=99

，

a

的正数可能值为

49

、

15

和

1

。检验第二个条件，只有

a=49

可行，因为

49^2+200=2601=51^2\text{。}

人口为

49^2=7^4

，是

7

的倍数。

所以正确答案是 B。

Let the original population be

a^2.

Then

\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}

From

(b-a)(b+a)=99,

the positive possibilities for

a

are

49,

15,

and

1.

Checking the second condition, only

a=49

works, since

49^2+200=2601=51^2.

The population is

49^2=7^4,

a multiple of

7.

Thus, the correct answer is B.

1962 AMC 12 第 38 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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