1963 AMC 12 第 35 题

Question

一个三角形的三边长都是整数，面积也是整数。其中一边长为

21

，周长为

48

。最短边的长度是：

The lengths of the sides of a triangle are integers, and its area is also an integer. One side is

21

and the perimeter is

48.

The shortest side is:

8

10

12

14

16

答案：B

知识点：海伦公式分类讨论三角不等式

难度评级：2100

小提示：

把另外两边写成

x

和

27-x

，半周长为

24

Write the other sides as

x

and

27-x

, with semiperimeter

24

大提示：

海伦公式给出面积平方为

72(24-x)(x-3)

Heron’s formula makes the squared area

72(24-x)(x-3)

解答：

设另外两边为

x

和

27-x

，并令

x\leq27-x

。半周长是

24

，所以海伦公式给出

\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3) \end{aligned}\text{。}

三角形不等式给出

4\leq x\leq13

。逐一检查这些整数，当

x=4,\ldots,9

时该表达式都不是完全平方数；当

x=10

时，它等于

72\cdot14\cdot7=7056=84^2

。因此最短边长为

10

。

所以正确答案是 B。

Let the other sides be

x

and

27-x,

with

x\leq27-x.

The semiperimeter is

24,

so Heron’s formula gives

\begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned}

The triangle inequalities give

4\leq x\leq13.

Checking these integers, the expression is not a square for

x=4,\ldots,9,

while at

x=10

it is

72\cdot14\cdot7=7056=84^2.

Thus the shortest side is

10.

Therefore, the correct answer is B.

1963 AMC 12 第 35 题

答案：B

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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