1964 AMC 12 第 37 题

Question

给定两个正数

a

、

b

，且

a\lt b

。设它们的算术平均数为 A.M.，正的几何平均数为 G.M.。那么 A.M. 与 G.M. 之差总小于：

Given two positive numbers

a,

b

such that

a\lt b.

Let A.M. be their arithmetic mean and let G.M. be their positive geometric mean. Then A.M. minus G.M. is always less than:

\dfrac{(b+a)^2}{ab}

\dfrac{(b+a)^2}{8b}

\dfrac{(b-a)^2}{ab}

\dfrac{(b-a)^2}{8a}

\dfrac{(b-a)^2}{8b}

用

\sqrt b-\sqrt a

改写

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}

Rewrite

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}

using

\sqrt b-\sqrt a

将

b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)

因式分解，再与选项 D 比较

Factor

b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)

to compare with choice D

我们有

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}\text{。}

约去正因子

(\sqrt b-\sqrt a)^2

后，与选项 D 的比较化为

\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}\text{。}

由于

\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a

，这个不等式成立。因此，A.M. 与 G.M. 之差总小于选项 D 中的式子。

所以，正确答案是 D。

We have

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.

After canceling the positive factor

(\sqrt b-\sqrt a)^2,

comparison with choice D reduces to

\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.

This is true because

\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.

Thus A.M. minus G.M. is always less than the expression in choice D.

Therefore, the correct answer is D.

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