1967 AMC 12 第 34 题

Question

在三角形

ABC

的边

AB

、

BC

和

CA

上分别取点

D

、

E

、

F

，使得

AD:DB=1:n

、

BE:CE=1:n

，且

CF:FA=1:n

。三角形

DEF

与三角形

ABC

的面积之比为：

Points

D,

E,

F

are taken respectively on sides

AB,

BC,

and

CA

of triangle

ABC

so that

AD:DB=1:n,

BE:CE=1:n,

and

CF:FA=1:n.

The ratio of the area of triangle

DEF

to that of triangle

ABC

is:

\dfrac{n^2-n+1}{(n+1)^2}

\dfrac1{(n+1)^2}

\dfrac{2n^3}{(n+1)^2}

\dfrac{n^3}{(n+1)^2}

\dfrac{n(n-1)}{n+1}

答案：A

知识点：三角形面积面积分割比与比例

难度评级：1710

小提示：

从三角形

ABC

中减去三个顶角处的小三角形

Subtract the three corner triangles from triangle

ABC

大提示：

每个顶角处的小三角形与原三角形的面积比都是

\frac{n}{(n+1)^2}

Each corner triangle has area ratio

\frac{n}{(n+1)^2}

解答：

在每个顶点处，小三角形所占相邻两边的比例分别为

\frac{1}{n+1}

和

\frac{n}{n+1}

。因此，每个顶角处的小三角形面积都是

[ABC]

的

\frac{n}{(n+1)^2}

倍。所以

\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 A。

At each vertex, the two adjacent side fractions used by the corner triangle are

\frac{1}{n+1}

and

\frac{n}{n+1}.

Thus each corner triangle has area

\frac{n}{(n+1)^2}

times

[ABC].

Therefore

\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 第 34 题

答案：A

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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