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1971 AMC 12 第 33 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

33.

若

P

是等比数列中

n

个量的乘积，

S

是它们的和，

S'

是它们倒数的和，则用

S

、

S'

和

n

表示的

P

为：

If

P

is the product of

n

quantities in geometric progression,

S

their sum, and

S'

the sum of their reciprocals, then

P

in terms of

S,

S',

and

n

is:

(SS')^{\frac{n}{2}}

(\frac{S}{S'})^{\frac{n}{2}}

(SS')^{n-2}

(\frac{S}{S'})^n

(\frac{S}{S'})^{\frac{n-1}{2}}

答案：B

知识点：等比数列代数变形

难度评级：2300

小提示：

把这个等比数列写成

a,ar,\ldots,ar^{n-1}

Write the progression as

a,ar,\ldots,ar^{n-1}

大提示：

证明

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}

，其

\frac{n}{2}

次幂正是所求乘积

Show that

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}

, whose

\frac{n}{2}

power is the product

解答：

把这些项写成

a,ar,\ldots,ar^{n-1}

。将倒数之和反向排列可得

S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}}\text{，}

所以

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}

。另一方面，

\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}\text{。} \end{aligned}

因此，正确答案为 B。

Write the terms as

a,ar,\ldots,ar^{n-1}.

Reversing the reciprocal sum gives

S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},

so

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.

Meanwhile

\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.