1971 AMC 12 Problema 33

Question

Si

P

es el producto de

n

cantidades en progresión geométrica,

S

es su suma y

S'

es la suma de sus recíprocos, entonces

P

, en términos de

S,

S'

y

n

, es:

If

P

is the product of

n

quantities in geometric progression,

S

their sum, and

S'

the sum of their reciprocals, then

P

in terms of

S,

S',

and

n

is:

(SS')^{\frac{n}{2}}

(\frac{S}{S'})^{\frac{n}{2}}

(SS')^{n-2}

(\frac{S}{S'})^n

(\frac{S}{S'})^{\frac{n-1}{2}}

Escribe la progresión como

a,ar,\ldots,ar^{n-1}

Write the progression as

a,ar,\ldots,ar^{n-1}

Demuestra que

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}

, cuya potencia

\frac{n}{2}

es el producto

Show that

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}

, whose

\frac{n}{2}

power is the product

Escribe los términos como

a,ar,\ldots,ar^{n-1}.

Al invertir el orden de la suma de los recíprocos se obtiene

S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},

de modo que

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.

Por otra parte,

\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write the terms as

a,ar,\ldots,ar^{n-1}.

Reversing the reciprocal sum gives

S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},

so

\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.

Meanwhile

\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 33 en otros años