1973 AMC 12 第 16 题

Question

若一个凸多边形除一个内角外的所有内角之和为

2190^\circ

，则该多边形的边数必为

If the sum of all the angles except one of a convex polygon is

2190^\circ,

then the number of sides of the polygon must be

13

15

17

19

21

设省略的内角为

x^\circ

，边数为

n

Let the omitted interior angle be

x^\circ

and the number of sides be

n

利用

0\lt x\lt180

，把整数

n-2

限制在长度为

1

的区间内

Use

0\lt x\lt180

to trap the integer

n-2

in an interval of length

1

若省略的角为

x^\circ

，则由凸性可得

0\lt x\lt180

。因此

180(n-2)=2190+x\text{，}

所以

\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}\text{。}

即

12\frac16\lt n-2\lt13\frac16\text{。}

唯一可能的整数是

n-2=13

，所以

n=15

。

所以正确答案是 B。

If the omitted angle is

x^\circ,

then convexity gives

0\lt x\lt180.

Hence

180(n-2)=2190+x,

so

\frac{2190}{180} \lt n-2 \lt\frac{2370}{180}.

This is

12\frac16\lt n-2\lt13\frac16.

The only possible integer is

n-2=13,

so

n=15.

Therefore, the correct answer is B.

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