1980 AMC 12 第 16 题

Question

立方体的八个顶点中，有四个是一个正四面体的顶点。求立方体表面积与正四面体表面积之比。

Four of the eight vertices of a cube are vertices of a regular tetrahedron. Find the ratio of the surface area of the cube to the surface area of the tetrahedron.

\sqrt2

\sqrt3

\sqrt{\frac32}

\frac2{\sqrt3}

2

答案：B

知识点：正方体表面积等边三角形

难度评级：1780

小提示：

若立方体棱长为

s

，则正四面体的每条棱都是立方体的一个面对角线

If the cube edge is

s,

each tetrahedron edge is a face diagonal

大提示：

比较

6s^2

与四个边长为

s\sqrt2

的等边三角形的总面积

Compare

6s^2

with four equilateral triangles of side

s\sqrt2

解答：

设立方体棱长为

s

。正四面体的每条棱都是立方体的面对角线，所以长度为

s\sqrt2

。正四面体的表面积为

4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2\text{。}

立方体的表面积为

6s^2

，所以所求比为

\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3

。

因此，正确答案是 B。

Let the cube edge be

s.

Each tetrahedron edge is a cube face diagonal, so it has length

s\sqrt2.

The tetrahedron’s surface area is

4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2.

The cube’s surface area is

6s^2,

so the ratio is

\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3.

Therefore, the correct answer is B.

1980 AMC 12 第 16 题

答案：B

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

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