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1966 AMC 12 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

若

\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243 \end{gathered}\text{，}

其中

x

与

y

为实数，则

xy

等于：

If

\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}

x

and

y

are real numbers, then

xy

equals:

1\dfrac34

4

6

12

-4

答案：B

知识点：指数方程组

难度评级：1430

小提示：

分别将两个方程改写成以

2

和

3

为底

Rewrite both equations with bases

2

and

3

大提示：

令指数相等，得到关于

x

、

y

的两个线性方程

Equate exponents to obtain two linear equations in

x

and

y

解答：

第一个方程化为

2^{x-y}=2^3

，所以

x-y=3

。第二个方程化为

3^{2x-3y}=3^5

，所以

2x-3y=5

。解得

y=1

、

x=4

，因此

xy=4

。

因此，正确答案是 B。

The first equation becomes

2^{x-y}=2^3,

so

x-y=3.

The second becomes

3^{2x-3y}=3^5,

so

2x-3y=5.

Solving gives

y=1,

x=4,

and hence

xy=4.

Therefore, the correct answer is B.

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