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1985 AMC 12 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

若

A=20^\circ

，且

B=25^\circ

，则

(1+\tan A)(1+\tan B)

的值为

If

A=20^\circ

and

B=25^\circ,

then the value of

(1+\tan A)(1+\tan B)

is

\sqrt3

2

1+\sqrt2

2(\tan A+\tan B)

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：三角恒等式三角学

难度评级：1920

小提示：

在正切加法公式中使用

A+B=45^\circ

Use

A+B=45^\circ

in the tangent addition formula

大提示：

将

\tan A+\tan B

用

\tan A\tan B

表示

Express

\tan A+\tan B

in terms of

\tan A\tan B

解答：

因为

\tan(A+B)=\tan45^\circ=1

，

\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1\text{，}

所以

\tan A+\tan B

=1-\tan A\tan B

。因此

\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2\text{。} \end{aligned}

所以正确答案是 B。

Because

\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,

\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,

so

\tan A+\tan B

=1-\tan A\tan B.

Therefore

\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.

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