1963 AMC 12 第 16 题

Question

三个非零数

a

、

b

、

c

成等差数列。把

a

增加

1

或把

c

增加

2

，所得三个数都成等比数列。则

b

等于：

Three numbers

a,

b,

c,

none zero, form an arithmetic progression. Increasing

a

by

1

or increasing

c

by

2

results in a geometric progression. Then

b

equals:

16

14

12

10

8

答案：C

知识点：等差数列等比数列方程组

难度评级：1920

小提示：

把三个数列条件写成含有

b^2

和

a+c

的方程

Translate the three progression conditions into equations involving

b^2

and

a+c

大提示：

先比较

(a+1)c=b^2=a(c+2)

Compare

(a+1)c=b^2=a(c+2)

first

解答：

这些条件给出

\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2) \end{gathered}\text{。}

比较后两个等式，得

c=2a

。因此

b=\frac{3a}{2}

，并且

\frac{9a^2}{4}=2a(a+1)

。由于

a\ne0

，得

a=8

，所以

b=12

。

所以正确答案是 C。

The conditions give

\begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered}

Comparing the last two yields

c=2a.

Thus

b=\frac{3a}{2},

and

\frac{9a^2}{4}=2a(a+1).

Since

a\ne0,

a=8,

so

b=12.

Therefore, the correct answer is C.

1963 AMC 12 第 16 题

答案：C

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题