1977 AMC 12 第 26 题
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26.
设四边形 的边 、、、 的长度分别为 、、、。若 的面积为 ，则
Let and be the lengths of sides and respectively, of quadrilateral If is the area of then
当且仅当
是凸四边形
if
and only if is convex
当且仅当
是矩形
if and
only if is a rectangle
当且仅当 是矩形
if
and only if is a rectangle
当且仅当 是平行四边形
if
and only if is a parallelogram
当且仅当 是平行四边形
if
and only if is a parallelogram
小提示：
分别沿两条对角线分割四边形，并用 作为每个正弦值的上界
Split the quadrilateral along each diagonal and bound every sine by
大提示：
合并所得的两个面积上界，并分析所有不等式同时取等号的条件
Combine the two resulting area bounds and analyze when every bound is an equality
解答：
沿对角线 分割并利用 ，可得 。同样，沿 分割可得 。对于非凸四边形，取两个三角形面积的适当差，这些上界仍然成立。将两式相加，得到 即 。等号成立要求四个正弦上界全部取等号，因此四个角都是直角；反之，矩形可以取到等号。所以等号成立当且仅当四边形为矩形。
因此，正确答案是 B。
Splitting along diagonal and using gives Splitting along similarly gives These bounds remain valid for a nonconvex quadrilateral by taking the appropriate difference of triangle areas. Adding them yields or Equality requires equality in all four sine bounds, so all four angles are right angles; conversely a rectangle gives equality. Thus the equality holds exactly for rectangles.
Therefore, the correct answer is B.
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