1979 AMC 12 第 26 题

Question

函数

f

对每一对实数

x

、

y

都满足函数方程

f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\text{。}

若

f(1)=1

，则满足

n\ne1

且

f(n)=n

的整数有多少个？

The function

f

satisfies the functional equation

f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1

for every pair

x,

y

of real numbers. If

f(1)=1,

then the number of integers

n\ne1

for which

f(n)=n

is

0

1

2

3

无穷多个

infinite

答案：B

知识点：函数方程递推二次方程

难度评级：2200

小提示：

令一个变量等于

1

，得到整数自变量相邻两项的递推关系

Set one variable equal to

1

to get a recurrence for consecutive integer inputs

大提示：

先求

f(0)

，再利用递推关系求出所有整数自变量对应的函数值，最后令

f(n)=n

Find

f(0)

, solve the recurrence for all integers, and then impose

f(n)=n

解答：

令

x=1

，得到

f(y+1)-f(y)=y+2

。令

x=y=0

，得到

f(0)=-1

。向两个方向延拓递推关系，可得对每个整数

n

，

f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}\text{。}

因而

f(n)=n

等价于

\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0 \end{aligned}\text{。}

整数解为

n=-2

和

n=1

，排除

1

后恰好剩一个。

因此，正确答案是 B。

Setting

x=1

gives

f(y+1)-f(y)=y+2.

Setting

x=y=0

gives

f(0)=-1.

Extending the recurrence in both directions yields, for every integer

n,

f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2}.

Thus

f(n)=n

is equivalent to

\begin{aligned} n^2+n-2&=(n+2)(n-1)\\ &=0. \end{aligned}

The integer solutions are

n=-2

and

n=1,

and after excluding

1

exactly one remains.

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

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