1978 AMC 12 第 26 题

Question

在

\triangle ABC

中，

AB=10

、

AC=8

、

BC=6

。圆

P

是所有经过

C

且与

AB

相切的圆中半径最小的一个。设圆

P

与边

AC

、

BC

除

C

外的交点分别为

Q

、

R

。线段

QR

的长度为

In

\triangle ABC,

AB=10,

AC=8,

and

BC=6.

Circle

P

is the circle with smallest radius which passes through

C

and is tangent to

AB.

Let

Q

and

R

be the points of intersection, distinct from

C,

of circle

P

with sides

AC

and

BC,

respectively. The length of segment

QR

is

4.75

4.8

5

4\sqrt2

3\sqrt3

答案：B

知识点：直角三角形相切圆高线圆周角

难度评级：2100

小提示：

6

-

8

-

10

三角形在

C

处为直角；设

H

为从

C

向

AB

所作垂线的垂足

The

6

-

8

-

10

triangle is right at

C

; let

H

be the foot from

C

to

AB

大提示：

最小的圆以

CH

为直径，并且

\angle QCR=90^\circ

The smallest circle has

CH

as a diameter, and

\angle QCR=90^\circ

解答：

设

H

为从

C

向

AB

所作高的垂足。在所有经过

C

且与

AB

相切的圆中，当切点为

H

时半径最小，所以

CH

是直径。由直角三角形的面积可得

CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8\text{。}

此外，

\angle QCR=90^\circ

，所以

QR

是圆

P

的直径。因此

QR=CH=4.8

。

因此，正确答案是 B。

Let

H

be the foot of the altitude from

C

to

AB.

Among circles through

C

tangent to

AB,

the least radius occurs when the tangency point is

H,

so

CH

is a diameter. The area of the right triangle gives

CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8.

Also

\angle QCR=90^\circ,

so

QR

is a diameter of circle

P.

Therefore

QR=CH=4.8.

Therefore, the correct answer is B.

1978 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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