1991 AMC 12 第 26 题

Question

若一个

n

位正整数的

n

个数字是集合

\{1,2,\ldots,n\}

的一种排列，并且其前

k

位组成的整数能被

k

整除，其中

k=1

、

2

、

\ldots

、

n

，则称它为可爱数。例如，

321

是一个

3

位可爱数，因为

1

整除

3

、

2

整除

32

，且

3

整除

321

。共有多少个

6

位可爱数？

An

n

-digit positive integer is cute if its

n

digits are an arrangement of the set

\{1,2,\ldots,n\}

and its first

k

digits form an integer that is divisible by

k,

for

k=1,

2,

\ldots,

n.

For example,

321

is a cute

3

-digit integer because

1

divides

3,

2

divides

32,

and

3

divides

321.

How many cute

6

-digit integers are there?

0

1

2

3

4

答案：C

知识点：整除性排列 case analysis

难度评级：2270

小提示：

第二位必须为偶数，前三位的数字和必须能被

3

整除，前四位必须能被

4

整除

The second digit must be even, the third-prefix digit sum must be divisible by

3,

and the fourth prefix must be divisible by

4

大提示：

第五位必须为

5

，整个数必须为偶数且能被

3

整除

The fifth digit must be

5,

and the full number must be even and divisible by

3

解答：

能被

5

整除迫使第五位为

5

。能被

2

和

6

整除迫使第二位和第六位为偶数。接着依次应用整除规则：前三位的数字和必须能被

3

整除，由第三位和第四位组成的两位数必须能被

4

整除。检查集合

\{1,2,3,4,6\}

中余下数字的排列，只剩

123654

和

321654

。直接检验可知，这两个数都满足全部六个前缀整除条件，所以共有

2

个。

因此正确答案为 C。

Divisibility by

5

forces the fifth digit to be

5.

Divisibility by

2

and

6

forces the second and sixth digits to be even. Now apply the divisibility tests successively: the first three digits must have sum divisible by

3,

and the two-digit number formed by the third and fourth digits must be divisible by

4.

Checking the remaining choices from

\{1,2,3,4,6\}

leaves

123654

and

321654.

Each number directly satisfies all six prefix divisibility conditions, so there are

2.

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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