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1998 AMC 12 第 26 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

26.

在四边形

ABCD

中，已知

\angle A=120^\circ

，角

B

和角

D

均为直角，

AB=13

，且

AD=46

。则

AC=

In quadrilateral

ABCD,

it is given that

\angle A=120^\circ,

angles

B

and

D

are right angles,

AB=13,

and

AD=46.

Then

AC=

60

62

64

65

72

答案：B

知识点：cyclic quadrilaterals 余弦定理 circumradius

难度评级：2010

小提示：

两个直角说明

ABCD

是以

AC

为直径的圆内接四边形

The two right angles make

ABCD

cyclic with

AC

as a diameter

大提示：

先在三角形

ABD

中求出

BD

，再使用正弦定理的推广形式

Find

BD

in triangle

ABD

, then use the extended law of sines

解答：

因为

\angle B+\angle D=180^\circ

，四边形为圆内接四边形，且

AC

是其直径。在三角形

ABD

中，

\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2 \end{aligned}\text{。}

由正弦定理的推广形式，

AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}

=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62

。所以正确答案是 B。

Because

\angle B+\angle D=180^\circ,

the quadrilateral is cyclic, and

AC

is its diameter. In triangle

ABD,

\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}

By the extended law of sines,

AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}

=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.

Thus B is correct.