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1982 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

在右图中，点

B

和

C

位于线段

AD

上，且

AB

、

BC

和

CD

分别为圆

O

、

N

和

P

的直径。圆

O

、

N

和

P

的半径均为

15

，直线

AG

在点

G

处与圆

P

相切。若

AG

与圆

N

相交于点

E

和

F

，则弦

EF

的长度为

In the adjoining figure, points

B

and

C

lie on line segment

AD,

and

AB,

BC,

and

CD

are diameters of circles

O,

N,

and

P,

respectively. Circles

O,

N,

and

P

all have radius

15,

and the line

AG

is tangent to circle

P

at

G.

If

AG

intersects circle

N

at points

E

and

F,

then chord

EF

has length

20

15\sqrt2

24

25

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：圆切线弦相似

难度评级：2090

小提示：

利用直角三角形

APG

求点

N

到直线

AG

的距离

Use right triangle

APG

to find the distance from

N

to line

AG

大提示：

在一个圆中，到圆心距离为

d

的弦长为

2\sqrt{r^2-d^2}

A chord at distance

d

from a circle’s center has length

2\sqrt{r^2-d^2}

解答：

这里

AP=75

、

PG=15

，且

AG\perp PG

。点

N

到

AG

的距离按

\frac{AN}{AP}=\frac{45}{75}

成比例，因此该距离为

15(\frac{45}{75})=9

。所以半径为

15

的圆中，这条弦的长度为

2\sqrt{15^2-9^2}=2\sqrt{144}=24

。

因此，正确答案为 C。

Here

AP=75,

PG=15,

and

AG\perp PG.

The distance from

N

to

AG

scales with

\frac{AN}{AP}=\frac{45}{75},

so it is

15(\frac{45}{75})=9.

Therefore the chord in the radius-

15

circle has length

2\sqrt{15^2-9^2}=2\sqrt{144}=24.

Therefore, the correct answer is C.

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