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1982 AMC 12 Problema 14

Intenta el Problema 14 del 1982 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1982 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

En la figura adjunta, los puntos

B

y

C

están en el segmento

AD,

y

AB,

BC,

y

CD

son los diámetros de los círculos

O,

N,

y

P,

respectivamente. Los círculos

O,

N,

y

P

tienen radio

15,

y la recta

AG

es tangente al círculo

P

en

G.

Si

AG

corta al círculo

N

en los puntos

E

y

F,

entonces la longitud de la cuerda

EF

es

In the adjoining figure, points

B

and

C

lie on line segment

AD,

and

AB,

BC,

and

CD

are diameters of circles

O,

N,

and

P,

respectively. Circles

O,

N,

and

P

all have radius

15,

and the line

AG

is tangent to circle

P

at

G.

If

AG

intersects circle

N

at points

E

and

F,

then chord

EF

has length

20

15\sqrt2

24

25

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente cuerda semejanza

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Usa el triángulo rectángulo

APG

para hallar la distancia de

N

a la recta

AG

Use right triangle

APG

to find the distance from

N

to line

AG

Pista grande:

Una cuerda a distancia

d

del centro de un círculo tiene longitud

2\sqrt{r^2-d^2}

A chord at distance

d

from a circle’s center has length

2\sqrt{r^2-d^2}

Solución:

Aquí

AP=75,

PG=15,

y

AG\perp PG.

La distancia de

N

a

AG

varía en la proporción

\frac{AN}{AP}=\frac{45}{75},

por lo que es

15(\frac{45}{75})=9.

Por lo tanto, la cuerda del círculo de radio

15

tiene longitud

2\sqrt{15^2-9^2}=2\sqrt{144}=24.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here

AP=75,

PG=15,

and

AG\perp PG.

The distance from

N

to

AG

scales with

\frac{AN}{AP}=\frac{45}{75},

so it is

15(\frac{45}{75})=9.

Therefore the chord in the radius-

15

circle has length

2\sqrt{15^2-9^2}=2\sqrt{144}=24.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 14 en otros años