1961 AMC 12 Problema 32

Intenta el Problema 32 del 1961 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1961 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

32.

Un polígono regular de nn lados está inscrito en un círculo de radio R.R. Su área es 3R2.3R^2. Entonces nn es:
A regular polygon of nn sides is inscribed in a circle of radius R.R. The area of the polygon is 3R2.3R^2. Then nn equals:
88
1010
1212
1515
1818
Respuesta: C
Conceptos:polígono regulartrigonometríadescomposición de áreas
Pista pequeña:
Divide el polígono en nn triángulos congruentes con vértice en el centro
Divide the polygon into nn congruent triangles with vertex at the center
Pista grande:
Usa el área 12nR2sin⁡(360∘n)\frac12nR^2\sin(\frac{360^\circ}{n}) y prueba las opciones
Use area 12nR2sin⁡(360∘n)\frac12nR^2\sin(\frac{360^\circ}{n}) and test the choices
Solución:
El área es n2R2sin⁡360∘n. \frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}. Para n=12,n=12, resulta 6R2sin⁡30∘=3R2, 6R^2\sin30^\circ=3R^2, como se requiere.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The polygon’s area is n2R2sin⁡360∘n. \frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}. For n=12,n=12, this becomes 6R2sin⁡30∘=3R2, 6R^2\sin30^\circ=3R^2, as required.
Therefore, the correct answer is C.
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