1964 AMC 12 Problema 34

Question

Si

n

es múltiplo de

4,

la suma

\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n, \end{aligned}

donde

i=\sqrt{-1},

es igual a:

If

n

is a multiple of

4,

the sum

\begin{aligned} s&=1+2i+3i^2+\cdots\\ &\quad+(n+1)i^n, \end{aligned}

where

i=\sqrt{-1},

equals:

1+i

\dfrac12(n+2)

\dfrac12(n+2-ni)

\dfrac12\left[(n+1)(1-i)+2\right]

\dfrac18(n^2+8-4ni)

Agrupa los términos en bloques de cuatro potencias de

i

Group the terms in blocks of four powers of

i

Cada bloque completo que comienza con el coeficiente

4j+1

suma

-2-2i

Each complete block beginning with coefficient

4j+1

sums to

-2-2i

Escribe

n=4m.

Para

j=0,\ldots,m-1,

los cuatro términos con exponentes de

4j

a

4j+3

suman

\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i. \end{aligned}

El término final es

4m+1.

Por tanto,

\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write

n=4m.

For

j=0,\ldots,m-1,

the four terms with exponents

4j

through

4j+3

sum to

\begin{aligned} &(4j+1)+(4j+2)i\\ &\quad-(4j+3)-(4j+4)i\\ &=-2-2i. \end{aligned}

The final term is

4m+1.

Therefore

\begin{aligned} s&=m(-2-2i)+(4m+1)\\ &=\frac{n+2-ni}{2}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

El Problema 34 en otros años