1965 AMC 12 Problema 34

Question

Para

x\geq0,

el menor valor de

\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}

es:

For

x\geq0,

the smallest value of

\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}

is:

1

2

\dfrac{25}{12}

\dfrac{13}{6}

\dfrac{34}{5}

Toma

t=x+1\geq1

Set

t=x+1\geq1

Reescribe la expresión como

\frac23t+\frac{3}{2t}

Rewrite the expression as

\frac23t+\frac{3}{2t}

Sea

t=x+1\geq1.

Como

4x^2+8x+13=4t^2+9,

la expresión es

\frac23t+\frac{3}{2t}.

Por la desigualdad media aritmética-media geométrica, esto es al menos

2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2,

con igualdad en

t=\frac{3}{2},

que está permitido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

t=x+1\geq1.

Since

4x^2+8x+13=4t^2+9,

the expression is

\frac23t+\frac{3}{2t}.

By AM-GM this is at least

2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2,

with equality at

t=\frac{3}{2},

which is allowed.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 34 en otros años