1993 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

1.

Para enteros

a,

b,

y

c,

se define

\boxed{a,b,c}

como

a^b-b^c+c^a.

Entonces

\boxed{1,-1,2}

es igual a

For integers

a,

b,

and

c,

define

\boxed{a,b,c}

to mean

a^b-b^c+c^a.

Then

\boxed{1,-1,2}

equals

-4

-2

0

2

4

Respuesta: D

Conceptos:sustitución integer exponents

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Sustituye las tres entradas en el orden indicado

Substitute the three entries in their stated order

Pista grande:

Recuerda que

(-1)^2=1

y

2^1=2

Remember that

(-1)^2=1

and

2^1=2

Solución:

Por la definición,

\begin{aligned} \boxed{1,-1,2} &=1^{-1}-(-1)^2+2^1\\ &=1-1+2\\ &=2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the definition,

\begin{aligned} \boxed{1,-1,2} &=1^{-1}-(-1)^2+2^1\\ &=1-1+2\\ &=2. \end{aligned}

Thus the correct answer is D.

2.

En

\triangle ABC,

\angle A=55^\circ,

\angle C=75^\circ,

D

está en el lado

\overline{AB}

y

E

está en el lado

\overline{BC}.

Si

DB=BE,

entonces

\angle BED=

In

\triangle ABC,

\angle A=55^\circ,

\angle C=75^\circ,

D

is on side

\overline{AB}

and

E

is on side

\overline{BC}.

If

DB=BE,

then

\angle BED=

50^\circ

55^\circ

60^\circ

65^\circ

70^\circ

Respuesta: D

Conceptos:triangle angle sum triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Determina primero

\angle ABC

First determine

\angle ABC

Pista grande:

El triángulo

DBE

es isósceles con vértice en

B

Triangle

DBE

is isosceles with vertex at

B

Solución:

Se tiene

\angle ABC

igual a

180^\circ-55^\circ-75^\circ=50^\circ.

Como

D

y

E

pertenecen a

\overline{BA}

y

\overline{BC},

respectivamente,

\angle DBE=50^\circ.

Puesto que

DB=BE,

los dos ángulos de la base de

\triangle DBE

miden

\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

\angle ABC

equal to

180^\circ-55^\circ-75^\circ=50^\circ.

Because

D

and

E

lie on

\overline{BA}

and

\overline{BC},

respectively,

\angle DBE=50^\circ.

Since

DB=BE,

the two base angles of

\triangle DBE

are

\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.

Thus the correct answer is D.

3.

\frac{15^{30}}{45^{15}}=

\left(\frac13\right)^{15}

\left(\frac13\right)^2

1

3^{15}

5^{15}

Respuesta: E

Conceptos:laws of exponents simplifying powers

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Escribe

15^{30}

como

(15^2)^{15}

Write

15^{30}

as

(15^2)^{15}

Pista grande:

Combina el numerador y el denominador dentro de una sola potencia decimoquinta

Combine the numerator and denominator inside one fifteenth power

Solución:

Usando un exponente común,

\frac{15^{30}}{45^{15}} =\left(\frac{15^2}{45}\right)^{15} =5^{15}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Using a common exponent,

\frac{15^{30}}{45^{15}} =\left(\frac{15^2}{45}\right)^{15} =5^{15}.

Thus the correct answer is E.

4.

Se define la operación “

\circ

” mediante

x\circ y=4x-3y+xy,

para todos los números reales

x

e

y.

¿Para cuántos números reales

y

se cumple

3\circ y=12

?

Define the operation “

\circ

” by

x\circ y=4x-3y+xy,

for all real numbers

x

and

y.

For how many real numbers

y

does

3\circ y=12?

0

1

3

4

más de

4

more than

4

Respuesta: E

Conceptos:defined operation identity equation

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Sustituye

x=3

en la operación

Substitute

x=3

into the operation

Pista grande:

Comprueba si se cancelan los términos que contienen

y

Check whether the terms containing

y

cancel

Solución:

Para todo número real

y,

3\circ y=4(3)-3y+3y=12.

Por consiguiente, todo número real

y

sirve, así que hay más de

4

de estos números. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For every real

y,

3\circ y=4(3)-3y+3y=12.

Hence every real number

y

works, so there are more than

4

such numbers. Thus the correct answer is E.

5.

El año pasado una bicicleta costaba

\$160

y un casco de ciclismo costaba

\$40.

Este año, el costo de la bicicleta aumentó un

5\%,

y el costo del casco aumentó un

10\%.

El aumento porcentual del costo combinado de la bicicleta y el casco es

Last year a bicycle cost

\$160

and a cycling helmet cost

\$40.

This year the cost of the bicycle increased by

5\%,

and the cost of the helmet increased by

10\%.

The percent increase in the combined cost of the bicycle and the helmet is

6\%

7\%

7.5\%

8\%

15\%

Respuesta: A

Conceptos:percent increase weighted average

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Halla el aumento en dólares de cada artículo

Find the dollar increase for each item

Pista grande:

Compara el aumento total con el costo combinado del año pasado

Compare the total increase with last year’s combined cost

Solución:

La bicicleta aumenta

\$8

y el casco

\$4,

para un aumento total de

\$12.

El costo combinado del año pasado era

\$200,

así que el aumento porcentual es

\frac{12}{200}\cdot100\%=6\%.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The bicycle increases by

\$8

and the helmet by

\$4,

for a total increase of

\$12.

Last year’s combined cost was

\$200,

so the percent increase is

\frac{12}{200}\cdot100\%=6\%.

Thus the correct answer is A.

6.

\sqrt{\frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}}}=

\sqrt2

16

32

12^{\frac{2}{3}}

512.5

Respuesta: B

Conceptos:factoring powers radicals

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Reescribe cada potencia con base

2

Rewrite every power with base

2

Pista grande:

Extrae como factor la menor potencia del numerador y del denominador

Factor the smaller power from the numerator and denominator

Solución:

Escribiendo todos los términos como potencias de

2,

\begin{aligned} \frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}} &=\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}\\ &=\frac{2^{20}(2^{10}+1)} {2^{12}(1+2^{10})}\\ &=2^8. \end{aligned}

Su raíz cuadrada positiva es

2^4=16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Writing all terms as powers of

2,

\begin{aligned} \frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}} &=\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}\\ &=\frac{2^{20}(2^{10}+1)} {2^{12}(1+2^{10})}\\ &=2^8. \end{aligned}

Its positive square root is

2^4=16.

Thus the correct answer is B.

7.

El símbolo

R_k

representa un entero cuya escritura en base diez es una sucesión de

k

unos. Por ejemplo,

R_3=111,

R_5=11111,

etc. Al dividir

R_{24}

entre

R_4,

el cociente

Q=\frac{R_{24}}{R_4}

es un entero cuya escritura en base diez contiene solamente unos y ceros. El número de ceros en

Q

es

The symbol

R_k

stands for an integer whose base-ten representation is a sequence of

k

ones. For example,

R_3=111,

R_5=11111,

etc. When

R_{24}

is divided by

R_4,

the quotient

Q=\frac{R_{24}}{R_4}

is an integer whose base-ten representation is a sequence containing only ones and zeros. The number of zeros in

Q

is

10

11

12

13

15

Respuesta: E

Conceptos:repunits geometric series valor posicional

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Usa

R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)

Use

R_{24}=R_4(1+10^4+10^8+\cdots)

Pista grande:

El cociente tiene seis unos, separados de cuatro en cuatro posiciones

The quotient has six ones, each four places apart

Solución:

Al agrupar los

24

dígitos en seis bloques de cuatro se obtiene

\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}

Así,

Q

tiene seis unos, con tres ceros entre cada par consecutivo. Por lo tanto, tiene

5\cdot3=15

ceros. La respuesta correcta es E.

Grouping the

24

digits into six blocks of four gives

\begin{aligned} R_{24} &=R_4\left(1+10^4+10^8\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{12}+10^{16}\right.\\ &\qquad\left.{}+10^{20}\right). \end{aligned}

Thus

Q

has six ones, with three zeros between each consecutive pair. It therefore has

5\cdot3=15

zeros. Thus the correct answer is E.

8.

Sean

C_1

y

C_2

dos círculos de radio

1

que están en el mismo plano y son tangentes entre sí. ¿Cuántos círculos de radio

3

están en este plano y son tangentes tanto a

C_1

como a

C_2

?

Let

C_1

and

C_2

be circles of radius

1

that are in the same plane and tangent to each other. How many circles of radius

3

are in this plane and tangent to both

C_1

and

C_2?

2

4

5

6

8

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes circle intersections análisis por casos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Un círculo de radio

3

puede ser tangente interior o exteriormente a cada círculo unitario

A radius-

3

circle can be internally or externally tangent to each unit circle

Pista grande:

Para su centro, considera los pares de distancias

(4,4),

(2,2),

(4,2),

y

(2,4)

For its center, consider distance pairs

(4,4),

(2,2),

(4,2),

and

(2,4)

Solución:

Los centros de los círculos unitarios tangentes están separados

2

unidades. Para tangencia exterior, el nuevo centro debe estar a

4

unidades del centro de un círculo unitario; para tangencia interior, a

2

unidades. El par de distancias

(4,4)

da dos centros, al igual que

(2,2).

Cada par mixto

(4,2)

y

(2,4)

da un centro porque los círculos correspondientes para los centros son tangentes interiormente. Por tanto, hay

2+2+1+1=6

círculos. La respuesta correcta es D.

Let the centers of the tangent unit circles be

2

units apart. The new center must be

4

units from a unit-circle center for external tangency and

2

units away for internal tangency. The distance pair

(4,4)

gives two centers, as does

(2,2).

Each mixed pair

(4,2)

and

(2,4)

gives one center because the corresponding center-circles are internally tangent. Hence there are

2+2+1+1=6

circles. Thus the correct answer is D.

9.

El país

A

tiene el

c\%

de la población mundial y posee el

d\%

de la riqueza mundial. El país

B

tiene el

e\%

de la población mundial y el

f\%

de su riqueza. Supón que los ciudadanos de

A

comparten por igual la riqueza de

A

, y que los de

B

comparten por igual la riqueza de

B

. Halla la razón entre la riqueza de un ciudadano de

A

y la de un ciudadano de

B.

Country

A

has

c\%

of the world’s population and owns

d\%

of the world’s wealth. Country

B

has

e\%

of the world’s population and

f\%

of its wealth. Assume that the citizens of

A

share the wealth of

A

equally, and assume that those of

B

share the wealth of

B

equally. Find the ratio of the wealth of a citizen of

A

to the wealth of a citizen of

B.

\frac{cd}{ef}

\frac{ce}{df}

\frac{cf}{de}

\frac{de}{cf}

\frac{df}{ce}

Respuesta: D

Conceptos:ratios per-capita quantities complex fractions

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

La riqueza per cápita es la riqueza total dividida entre la población

Per-capita wealth is total wealth divided by population

Pista grande:

Forma la razón

\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}

Form the ratio

\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}

Solución:

La riqueza per cápita del país

A

es proporcional a

\frac{d}{c},

mientras que la del país

B

es proporcional a

\frac{f}{e}.

Su razón es

\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}=\frac{de}{cf}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Country

A

’s per-capita share is proportional to

\frac{d}{c},

while country

B

’s is proportional to

\frac{f}{e}.

Their ratio is

\frac{\frac{d}{c}}{\frac{f}{e}}=\frac{de}{cf}.

Thus the correct answer is D.

10.

Sea

r

el número que resulta al triplicar tanto la base como el exponente de

a^b

, donde

a,

b\gt0.

Si

r

es igual al producto de

a^b

y

x^b

, donde

x\gt0,

entonces

x=

Let

r

be the number that results when both the base and the exponent of

a^b

are tripled, where

a,

b\gt0.

If

r

equals the product of

a^b

and

x^b

where

x\gt0,

then

x=

3

3a^2

27a^2

2a^{3b}

3a^{2b}

Respuesta: C

Conceptos:laws of exponents algebraic substitution

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Triplicar ambas partes transforma

a^b

en

(3a)^{3b}

Tripling both parts changes

a^b

to

(3a)^{3b}

Pista grande:

Reescribe la igualdad de modo que ambos lados sean potencias de exponente

b

Rewrite the equality so both sides are

b

th powers

Solución:

Se tiene

r=(3a)^{3b}=\bigl(27a^3\bigr)^b.

Además,

r=a^bx^b=(ax)^b.

Como las cantidades son positivas, podemos igualar las bases; así,

ax=27a^3

y

x=27a^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have

r=(3a)^{3b}=\bigl(27a^3\bigr)^b.

Also

r=a^bx^b=(ax)^b.

Positivity allows us to equate the bases, so

ax=27a^3

and

x=27a^2.

Thus the correct answer is C.

11.

Si

\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,

¿cuántos dígitos tiene la representación en base diez de

x

?

If

\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,

then how many digits are in the base-ten representation for

x?

5

7

9

11

13

Respuesta: A

Conceptos:nested logarithms powers of two decimal digits

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Deshaz los logaritmos uno a uno, comenzando por el exterior

Undo the logarithms one at a time from the outside

Pista grande:

Los valores sucesivos son

2,

4,

y

16

antes de despejar

x

The successive values are

2,

4,

and

16

before solving for

x

Solución:

Al deshacer los logaritmos se obtiene

\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned}

Este número tiene

5

dígitos decimales. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Undoing the logarithms gives

\begin{aligned} \log_2(\log_2 x)&=4,\\ \log_2x&=16,\\ x&=2^{16}=65536. \end{aligned}

This number has

5

decimal digits. Thus the correct answer is A.

12.

Si

f(2x)=\frac{2}{2+x}

para todo

x\gt0,

entonces

2f(x)=

If

f(2x)=\frac{2}{2+x}

for all

x\gt0,

then

2f(x)=

\frac{2}{1+x}

\frac{2}{2+x}

\frac{4}{1+x}

\frac{4}{2+x}

\frac{8}{4+x}

Respuesta: E

Conceptos:function substitution rational expressions

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Para obtener

f(x),

sustituye la variable de entrada dada por

\frac{x}{2}

To obtain

f(x),

replace the given input variable by

\frac{x}{2}

Pista grande:

Simplifica

2f(x)=2\left(\frac{2}{2+\frac{x}{2}}\right)

Simplify

2f(x)=2\left(\frac{2}{2+\frac{x}{2}}\right)

Solución:

Al sustituir el

x

dado por

\frac{x}{2}

se obtiene

f(x)=\frac{2}{2+\frac{x}{2}}=\frac{4}{4+x}.

Por lo tanto,

2f(x)=\frac{8}{4+x}.

Así, la respuesta correcta es E.

Replacing the given

x

by

\frac{x}{2}

yields

f(x)=\frac{2}{2+\frac{x}{2}}=\frac{4}{4+x}.

Therefore

2f(x)=\frac{8}{4+x}.

Thus the correct answer is E.

13.

Un cuadrado de perímetro

20

está inscrito en un cuadrado de perímetro

28.

¿Cuál es la mayor distancia entre un vértice del cuadrado interior y un vértice del cuadrado exterior?

A square of perimeter

20

is inscribed in a square of perimeter

28.

What is the greatest distance between a vertex of the inner square and a vertex of the outer square?

\sqrt{58}

\frac{7\sqrt5}{2}

8

\sqrt{65}

5\sqrt3

Respuesta: D

Conceptos:inscribed square Pythagorean theorem distance

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Un vértice del cuadrado interior divide un lado exterior en segmentos de longitudes

x

e

y

A vertex of the inner square divides an outer side into lengths

x

and

y

Pista grande:

Usa

x+y=7

y

x^2+y^2=25

Use

x+y=7

and

x^2+y^2=25

Solución:

Las longitudes de los lados exterior e interior son

7

y

5.

En cualquier vértice interior, los dos segmentos del lado exterior tienen longitudes

x

e

y

, con

x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.

Por tanto,

2xy=49-25=24,

así que

\{x,y\}=\{3,4\}.

Desde un vértice interior situado en un lado, el vértice exterior opuesto más lejano está a un desplazamiento horizontal de

4

y vertical de

7.

La mayor distancia es, por lo tanto,

\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.

La respuesta correcta es D.

The outer and inner side lengths are

7

and

5.

At any inner vertex, the two pieces of the outer side have lengths

x

and

y

with

x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.

Hence

2xy=49-25=24,

so

\{x,y\}=\{3,4\}.

From an inner vertex on one side, the farther opposite outer vertex has horizontal displacement

4

and vertical displacement

7.

The greatest distance is therefore

\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.

Thus the correct answer is D.

14.

El pentágono convexo

ABCDE

satisface

\angle A=\angle B=120^\circ,

EA=AB=BC=2

y

CD=DE=4.

¿Cuál es el área de

ABCDE

?

The convex pentagon

ABCDE

has

\angle A=\angle B=120^\circ,

EA=AB=BC=2

and

CD=DE=4.

What is the area of

ABCDE?

10

7\sqrt3

15

9\sqrt3

12\sqrt5

Respuesta: B

Conceptos:pentagon area isosceles trapezoid triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Traza

\overline{CE}

para dividir el pentágono en un trapecio y un triángulo

Draw

\overline{CE}

to split the pentagon into a trapezoid and a triangle

Pista grande:

Las condiciones sobre los ángulos dan

CE=4,

por lo que

\triangle CDE

es equilátero

The angle conditions give

CE=4,

so

\triangle CDE

is equilateral

Solución:

Coloca

A=(0,0)

y

B=(2,0).

Los ángulos de

120^\circ

y las longitudes

EA=BC=2

dan

E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).

Así,

ABCE

es un trapecio de altura

\sqrt3

y bases

2

y

4,

por lo que su área es

3\sqrt3.

Además,

CE=4=CD=DE,

de modo que

\triangle CDE

es equilátero y tiene área

4\sqrt3.

El área total es

7\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place

A=(0,0)

and

B=(2,0).

The

120^\circ

angles and side lengths

EA=BC=2

give

E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).

Thus

ABCE

is a trapezoid of height

\sqrt3

and bases

2

and

4,

so its area is

3\sqrt3.

Also

CE=4=CD=DE,

making

\triangle CDE

equilateral with area

4\sqrt3.

The total area is

7\sqrt3.

Thus the correct answer is B.

15.

¿Para cuántos valores de

n

tendrá un polígono regular de

n

lados ángulos interiores cuyas medidas en grados sean enteras?

For how many values of

n

will an

n

-sided regular polygon have interior angles with integral degree measures?

16

18

20

22

24

Respuesta: D

Conceptos:polígono regular divisors factorización en primos

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Un ángulo interior mide

180^\circ-\frac{360^\circ}{n}

An interior angle is

180^\circ-\frac{360^\circ}{n}

Pista grande:

Cuenta los divisores

n

de

360

y excluye los valores menores que

3

Count divisors

n

of

360

and exclude values below

3

Solución:

El ángulo interior mide

180^\circ-\frac{360^\circ}{n},

y es entero exactamente cuando

360

es divisible por

n.

Como

360=2^3\cdot3^2\cdot5,

tiene

(3+1)(2+1)(1+1)=24

divisores positivos. Al excluir

n=1

y

n=2

quedan

22

valores admisibles. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The interior angle is

180^\circ-\frac{360^\circ}{n},

which is integral exactly when

360

is divisible by

n.

Since

360=2^3\cdot3^2\cdot5,

it has

(3+1)(2+1)(1+1)=24

positive divisors. Excluding

n=1

and

n=2

leaves

22

allowable values. Thus the correct answer is D.

16.

Considera la sucesión no decreciente de enteros positivos

\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}

en la que el

n

-ésimo entero positivo aparece

n

veces. El residuo al dividir el término número

1993

entre

5

es

Consider the non-decreasing sequence of positive integers

\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}

in which the

n

th positive integer appears

n

times. The remainder when the

1993

rd term is divided by

5

is

0

1

2

3

4

Respuesta: D

Conceptos:triangular numbers indexed sequence aritmética modular

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

La última aparición de

n

ocupa la posición

\frac{n(n+1)}2

The final occurrence of

n

is in position

\frac{n(n+1)}2

Pista grande:

Compara

1993

con los números triangulares correspondientes a

62

y

63

Compare

1993

with the triangular numbers for

62

and

63

Solución:

El último

62

aparece en la posición

\frac{62\cdot63}{2}=1953,

mientras que el último

63

aparece en la posición

\frac{63\cdot64}{2}=2016.

Por consiguiente, el término número

1993

es

63,

cuyo residuo módulo

5

es

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The last

62

occurs in position

\frac{62\cdot63}{2}=1953,

while the last

63

occurs in position

\frac{63\cdot64}{2}=2016.

Thus the

1993

rd term is

63,

whose remainder modulo

5

is

3.

Thus the correct answer is D.

17.

Amy pintó una diana sobre la carátula cuadrada de un reloj usando las posiciones de las horas como fronteras. [Véase la figura.] Si

t

es el área de una de las ocho regiones triangulares, como la que está entre las posiciones de las

12

y la

1

, y

q

es el área de uno de los cuatro cuadriláteros de las esquinas, como el que está entre las posiciones de la

1

y las

2

, entonces

\frac qt=

Amy painted a dart board over a square clock face using the “hour positions” as boundaries. [See figure.] If

t

is the area of one of the eight triangular regions such as that between

12

o’clock and

1

o’clock, and

q

is the area of one of the four corner quadrilaterals such as that between

1

o’clock and

2

o’clock, then

\frac qt=

2\sqrt3-2

\frac32

\frac{\sqrt5+1}{2}

\sqrt3

2

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas geometría analítica clock angles

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Cambia la escala del cuadrado para que sus lados sean

x=\pm1

e

y=\pm1

Scale the square so its sides are

x=\pm1

and

y=\pm1

Pista grande:

El rayo correspondiente a la

1

corta el lado superior en

x=\frac{1}{\sqrt3}

The

1

o’clock ray meets the top side at

x=\frac{1}{\sqrt3}

Solución:

Sea el cuadrado

[-1,1]^2

y su centro el origen. El rayo correspondiente a la

1

corta el lado superior en

(\frac{1}{\sqrt3},1),

por lo que

t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}.

El cuadrilátero de la esquina tiene vértices

(0,0),

(\frac{1}{\sqrt3},1),

(1,1),

(1,\frac{1}{\sqrt3}).

Su área es

q=1-\frac1{\sqrt3}.

Por tanto,

\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2.

La respuesta correcta es A.

Let the square be

[-1,1]^2

and its center be the origin. The

1

o’clock ray meets the top side at

(\frac{1}{\sqrt3},1),

so

t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}.

The corner quadrilateral has vertices

(0,0),

(\frac{1}{\sqrt3},1),

(1,1),

(1,\frac{1}{\sqrt3}).

Its area is

q=1-\frac1{\sqrt3}.

Hence

\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2.

Thus the correct answer is A.

18.

Al y Barb comienzan sus nuevos trabajos el mismo día. El horario de Al consiste en

3

días de trabajo seguidos de

1

día de descanso. El horario de Barb consiste en

7

días de trabajo seguidos de

3

días de descanso. Durante sus primeros

1000

días, ¿cuántos días descansan ambos a la vez?

Al and Barb start their new jobs on the same day. Al’s schedule is

3

work-days followed by

1

rest-day. Barb’s schedule is

7

work-days followed by

3

rest-days. On how many of their first

1000

days do both have rest-days on the same day?

48

50

72

75

100

Respuesta: E

Conceptos:periodic schedules mínimo común múltiplo counting

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

El horario combinado se repite cada

\operatorname{lcm}(4,10)

días

The combined schedule repeats every

\operatorname{lcm}(4,10)

days

Pista grande:

Dentro de un ciclo de

20

días, compara los días de descanso de Al con los de Barb

Within one

20

-day cycle, compare Al’s rest days with Barb’s

Solución:

El patrón combinado se repite cada

20

días. Al descansa los días

4,

8,

12,

16,

20,

mientras que Barb descansa los días

8,

9,

10,

18,

19,

20.

Sus días de descanso comunes son

8

y

20,

dos por ciclo. Hay

\frac{1000}{20}=50

ciclos, lo que da

2\cdot50=100

días de descanso comunes. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The combined pattern repeats every

20

days. Al rests on days

4,

8,

12,

16,

20,

while Barb rests on days

8,

9,

10,

18,

19,

20.

Their common rest days are

8

and

20,

two per cycle. There are

\frac{1000}{20}=50

cycles, giving

2\cdot50=100

common rest days. Thus the correct answer is E.

19.

¿Cuántos pares ordenados

(m,n)

de enteros positivos son soluciones de

\frac4m+\frac2n=1?

How many ordered pairs

(m,n)

of positive integers are solutions to

\frac4m+\frac2n=1?

1

2

3

4

más de

4

more than

4

Respuesta: D

Conceptos:Diophantine equation factorización divisors

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Elimina los denominadores y completa un producto que contenga

m-4

y

n-2

Clear denominators and complete a product involving

m-4

and

n-2

Pista grande:

La ecuación es equivalente a

(m-4)(n-2)=8

The equation is equivalent to

(m-4)(n-2)=8

Solución:

Al eliminar los denominadores y reordenar se obtiene

\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8. \end{aligned}

Ambos factores deben ser positivos. Los cuatro pares ordenados de factores positivos de

8

dan

\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3). \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Clearing denominators and rearranging gives

\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8. \end{aligned}

Both factors must be positive. The four ordered positive factor pairs of

8

give

\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3). \end{aligned}

Thus the correct answer is D.

20.

Considera la ecuación

10z^2-3iz-k=0,

donde

z

es una variable compleja e

i^2=-1.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Consider the equation

10z^2-3iz-k=0,

where

z

is a complex variable and

i^2=-1.

Which of the following statements is true?

Para todo número real positivo

k,

ambas raíces son imaginarias puras.

For all positive real numbers

k,

both roots are pure imaginary.

Para todo número real negativo

k,

ambas raíces son imaginarias puras.

For all negative real numbers

k,

both roots are pure imaginary.

Para todo número imaginario puro

k,

ambas raíces son reales y racionales.

For all pure imaginary numbers

k,

both roots are real and rational.

Para todo número imaginario puro

k,

ambas raíces son reales e irracionales.

For all pure imaginary numbers

k,

both roots are real and irrational.

Para todo número complejo

k,

ninguna raíz es real.

For all complex numbers

k,

neither root is real.

Respuesta: B

Conceptos:quadratic formula complex numbers pure imaginary numbers

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Aplica la fórmula cuadrática y simplifica el discriminante

Apply the quadratic formula and simplify the discriminant

Pista grande:

Para un

k

real negativo, determina el tipo de

\sqrt{-9+40k}

For negative real

k,

determine the type of

\sqrt{-9+40k}

Solución:

Las raíces son

z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}.

Si

k

es real y negativo, entonces

-9+40k

es real y negativo, por lo que sus raíces cuadradas son imaginarias puras. Así, ambos valores resultantes de

z

son imaginarios puros. Las demás afirmaciones universales son falsas; por ejemplo, basta tomar

k=1,

i,

o

0

según corresponda. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The roots are

z=\frac{3i\pm\sqrt{-9+40k}}{20}.

If

k

is negative and real, then

-9+40k

is negative real, so its square roots are pure imaginary. Both resulting values of

z

are therefore pure imaginary. The other universal claims fail, for example by taking

k=1,

i,

or

0

as appropriate. Thus the correct answer is B.

21.

Sea

a_1,

a_2,

\ldots,

a_k

una sucesión aritmética finita tal que

a_4+a_7+a_{10}=17

y

\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}

Si

a_k=13,

entonces

k=

Let

a_1,

a_2,

\ldots,

a_k

be a finite arithmetic sequence with

a_4+a_7+a_{10}=17

and

\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}

If

a_k=13,

then

k=

16

18

20

22

24

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética symmetric averages common difference

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa los términos centrales para hallar

a_7

y

a_9

Use the middle terms to find

a_7

and

a_9

Pista grande:

La diferencia entre

a_7

y

a_9

determina la diferencia común

The difference between

a_7

and

a_9

determines the common difference

Solución:

Como el promedio de términos simétricos de una sucesión aritmética es el término central,

3a_7=17,\qquad 11a_9=77.

Así,

a_7=\frac{17}{3}

y

a_9=7,

por lo que la diferencia común es

d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.

Como

13-7=6=9d,

se tiene

a_k=a_{9+9}=a_{18}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because symmetric terms of an arithmetic sequence average to the middle term,

3a_7=17,\qquad 11a_9=77.

Thus

a_7=\frac{17}{3}

and

a_9=7,

so the common difference is

d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.

Since

13-7=6=9d,

we have

a_k=a_{9+9}=a_{18}.

Thus the correct answer is B.

22.

Se disponen veinte bloques cúbicos como se muestra. Primero se colocan

10

en un patrón triangular; luego una capa de

6,

también en patrón triangular, se centra sobre los

10;

después una capa de

3,

dispuestos en patrón triangular, se centra sobre los

6;

finalmente, se centra un bloque sobre la tercera capa. Los bloques de la capa inferior se numeran del

1

al

10

en algún orden. A cada bloque de las capas

2,

3

y

4

se le asigna la suma de los números de los tres bloques sobre los que descansa. Halla el menor número posible que podría asignarse al bloque superior.

Twenty cubical blocks are arranged as shown. First,

10

are arranged in a triangular pattern; then a layer of

6,

arranged in a triangular pattern, is centered on the

10;

then a layer of

3,

arranged in a triangular pattern, is centered on the

6;

and finally one block is centered on top of the third layer. The blocks in the bottom layer are numbered

1

through

10

in some order. Each block in layers

2,

3

and

4

is assigned the number which is the sum of the numbers assigned to the three blocks on which it rests. Find the smallest possible number which could be assigned to the top block.

55

83

114

137

144

Respuesta: C

Conceptos:weighted sum rearrangement principle triangular stack

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Determina cuántas veces contribuye cada bloque inferior al número de arriba

Determine how many times each bottom block contributes to the top

Pista grande:

El centro, las seis posiciones del borde y las tres esquinas tienen coeficientes

6,

3,

y

1

The center, six edge positions, and three corner positions have coefficients

6,

3,

and

1

Solución:

Al desarrollar las sumas capa por capa, el valor superior es

6c+3(e_1+e_2+e_3

{}+e_4+e_5+e_6)

{}+(v_1+v_2+v_3),

donde

c

es el bloque central de la capa inferior, los

e_i

son los seis bloques del borde que no están en las esquinas y los

v_i

son los tres bloques de las esquinas. Para minimizar esta suma ponderada, asigna

1

a la posición de coeficiente

6,

los números

2,

\ldots,

7

a las posiciones de coeficiente

3,

y

8,

9,

10

a las posiciones de coeficiente

1.

El mínimo es

6+3(2+3+4

{}+5+6+7)

{}+(8+9+10)=114.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding the sums layer by layer, the top value is

6c+3(e_1+e_2+e_3

{}+e_4+e_5+e_6)

{}+(v_1+v_2+v_3),

where

c

is the center bottom block, the

e_i

are the six non-corner boundary blocks, and the

v_i

are the three corner blocks. To minimize this weighted sum, assign

1

to the coefficient-

6

position,

2,

\ldots,

7

to the coefficient-

3

positions, and

8,

9,

10

to the coefficient-

1

positions. The minimum is

6+3(2+3+4

{}+5+6+7)

{}+(8+9+10)=114.

Thus the correct answer is C.

23.

Los puntos

A,

B,

C

y

D

están en un círculo de diámetro

1,

y

X

está sobre el diámetro

\overline{AD}.

Si

BX=CX

y

3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ,

entonces

AX=

Points

A,

B,

C

and

D

are on a circle of diameter

1,

and

X

is on diameter

\overline{AD}.

If

BX=CX

and

3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ,

then

AX=

\cos6^\circ\cos12^\circ\sec18^\circ

\cos6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ

\cos6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ

\sin6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ

\sin6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ

Respuesta: B

Conceptos:circle geometry bisectriz ley de los senos

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Como

BX=CX,

el diámetro que pasa por

X

biseca

\angle BXC

Because

BX=CX,

the diameter through

X

bisects

\angle BXC

Pista grande:

Halla

AB

usando el triángulo rectángulo

ABD,

y luego aplica la ley de los senos en

\triangle ABX

Find

AB

using right triangle

ABD,

then apply the Law of Sines in

\triangle ABX

Solución:

Como

BX=CX,

la recta

AD

biseca

\angle BXC,

y la simetría también da

\angle BAD=6^\circ.

Como

AD=1

es un diámetro,

\angle ABD=90^\circ,

por lo que

AB=\cos6^\circ.

Además,

\begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ. \end{gathered}

La ley de los senos en

\triangle ABX

da

\begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

BX=CX,

the line

AD

bisects

\angle BXC,

and symmetry also gives

\angle BAD=6^\circ.

Because

AD=1

is a diameter,

\angle ABD=90^\circ,

so

AB=\cos6^\circ.

Also

\begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ. \end{gathered}

The Law of Sines in

\triangle ABX

gives

\begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.

24.

Una caja contiene

3

centavos brillantes y

4

opacos. Se extraen los centavos al azar, uno a uno y sin reemplazo. Si la probabilidad de que hagan falta más de cuatro extracciones para que aparezca el tercer centavo brillante es

\frac{a}{b}

, y

\frac{a}{b}

está en su mínima expresión, entonces

a+b=

A box contains

3

shiny pennies and

4

dull pennies. One by one, pennies are drawn at random from the box and not replaced. If the probability is

\frac{a}{b}

that it will take more than four draws until the third shiny penny appears and

\frac{a}{b}

is in lowest terms, then

a+b=

11

20

35

58

66

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad complementaria combinaciones random ordering

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Considera que los tres centavos brillantes ocupan tres de las siete posiciones de extracción

View the three shiny pennies as occupying three of seven draw positions

Pista grande:

Resta los casos en los que los tres centavos brillantes aparecen entre las primeras cuatro posiciones

Subtract the cases in which all three shiny pennies occur among the first four positions

Solución:

Los centavos brillantes ocupan un subconjunto de

3

elementos elegido uniformemente entre las

7

posiciones de extracción. Hay

\binom73=35

posibilidades. El tercer centavo brillante aparece a más tardar en la extracción

4

exactamente cuando las tres posiciones brillantes están entre las primeras cuatro, lo que ocurre en

\binom43=4

casos. La probabilidad pedida es

1-\frac4{35}=\frac{31}{35}.

Por lo tanto,

a+b=31+35=66.

Así, la respuesta correcta es E.

The shiny pennies occupy a uniformly chosen

3

-element subset of the

7

draw positions. There are

\binom73=35

possibilities. The third shiny penny appears by draw

4

exactly when all three shiny positions lie among the first four, which occurs in

\binom43=4

cases. The requested probability is

1-\frac4{35}=\frac{31}{35}.

Therefore

a+b=31+35=66.

Thus the correct answer is E.

25.

Sea

S

el conjunto de puntos sobre los rayos que forman los lados de un ángulo de

120^\circ

, y sea

P

un punto fijo dentro del ángulo y sobre su bisectriz. Considera todos los triángulos equiláteros distintos

PQR

con

Q

y

R

en

S.

(Los puntos

Q

y

R

pueden estar sobre el mismo rayo, e intercambiar los nombres de

Q

y

R

no crea un triángulo distinto.) Hay

Let

S

be the set of points on the rays forming the sides of a

120^\circ

angle, and let

P

be a fixed point inside the angle on the angle bisector. Consider all distinct equilateral triangles

PQR

with

Q

and

R

in

S.

(Points

Q

and

R

may be on the same ray, and switching the names of

Q

and

R

does not create a distinct triangle.) There are

exactamente

2

de estos triángulos.

exactly

2

such triangles.

exactamente

3

de estos triángulos.

exactly

3

such triangles.

exactamente

7

de estos triángulos.

exactly

7

such triangles.

exactamente

15

de estos triángulos.

exactly

15

such triangles.

más de

15

de estos triángulos.

more than

15

such triangles.

Respuesta: E

Conceptos:equilateral triangles congruence infinite family

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Llama

O

al vértice del ángulo y elige

A

sobre un rayo de modo que

\triangle AOP

sea equilátero

Call the angle’s vertex

O

and choose

A

on one ray so that

\triangle AOP

is equilateral

Pista grande:

Varía continuamente un punto

Q

sobre

\overline{AO}

y construye el punto correspondiente

R

sobre el otro rayo

Vary a point

Q

continuously on

\overline{AO}

and construct a matching point

R

on the other ray

Solución:

Sea

O

el vértice. Elige

A

sobre un rayo de modo que

OA=OP;

como

OP

biseca el ángulo de

120^\circ

,

\triangle AOP

es equilátero. Para cualquier

Q

en

\overline{AO},

elige

R

en el otro rayo de modo que

OR=AQ.

Entonces

\triangle POR\cong\triangle PAQ

por LAL. Por consiguiente,

PQ=PR

y

\angle QPR=\angle APO=60^\circ,

de modo que

\triangle PQR

es equilátero. Un continuo de elecciones de

Q

produce triángulos distintos, así que ciertamente hay más de

15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

O

be the vertex. Choose

A

on one ray so that

OA=OP;

because

OP

bisects the

120^\circ

angle,

\triangle AOP

is equilateral. For any

Q

on

\overline{AO},

choose

R

on the other ray with

OR=AQ.

Then

\triangle POR\cong\triangle PAQ

by SAS. Consequently

PQ=PR

and

\angle QPR=\angle APO=60^\circ,

so

\triangle PQR

is equilateral. Continuously many choices of

Q

give distinct triangles, hence certainly more than

15.

Thus the correct answer is E.

26.

Halla el mayor valor positivo que alcanza la función

\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48}, \end{aligned}

donde

x

es un número real.

Find the largest positive value attained by the function

\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48}, \end{aligned}

x

a real number.

\sqrt7-1

3

2\sqrt3

4

\sqrt{55}-\sqrt5

Respuesta: C

Conceptos:radical function domain maximizing expression

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Factoriza ambos radicandos usando el factor común

8-x

Factor both radicands using the common factor

8-x

Pista grande:

En el dominio

6\le x\le8,

racionaliza

\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})

On the domain

6\le x\le8,

rationalize

\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})

Solución:

Ambos radicales son reales exactamente cuando

6\le x\le8.

Al factorizar y racionalizar,

\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}}. \end{aligned}

En este intervalo, el numerador disminuye mientras el denominador aumenta, por lo que el máximo ocurre en

x=6.

Su valor es

f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Both radicals are real exactly when

6\le x\le8.

Factoring and rationalizing,

\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}}. \end{aligned}

On this interval the numerator decreases while the denominator increases, so the maximum occurs at

x=6.

Its value is

f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3.

Thus the correct answer is C.

27.

Los lados de

\triangle ABC

tienen longitudes

6,

8

y

10.

Un círculo de centro

P

y radio

1

rueda por el interior de

\triangle ABC,

manteniéndose siempre tangente al menos a un lado del triángulo. Cuando

P

vuelve por primera vez a su posición inicial, ¿qué distancia ha recorrido

P

?

The sides of

\triangle ABC

have lengths

6,

8

and

10.

A circle with center

P

and radius

1

rolls around the inside of

\triangle ABC,

always remaining tangent to at least one side of the triangle. When

P

first returns to its original position, through what distance has

P

traveled?

10

12

14

15

17

Respuesta: B

Conceptos:inner parallel triangle angle bisectors triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

El centro recorre un triángulo menor cuyos lados son paralelos a los lados originales

The center traces a smaller triangle whose sides are parallel to the original sides

Pista grande:

El triángulo original

6

-

8

-

10

tiene inradio

2,

mientras que la trayectoria del centro tiene inradio

1

The original

6

-

8

-

10

triangle has inradius

2,

while the center’s path has inradius

1

Solución:

El centro

P

permanece a una unidad del lado que toca, así que su trayectoria es el triángulo formado por las tres rectas paralelas desplazadas

1

unidad hacia el interior. Este triángulo es semejante a

\triangle ABC.

El triángulo rectángulo original tiene área

24

y semiperímetro

12,

por lo que su inradio es

\frac{24}{12}=2.

El triángulo de la trayectoria tiene inradio

2-1=1,

así que su escala lineal es

\frac{1}{2}.

Su perímetro, y por lo tanto la distancia recorrida, es

\frac12(6+8+10)=12.

La respuesta correcta es B.

The center

P

remains one unit from the side it touches, so its path is the triangle formed by the three inward parallel lines at distance

1.

This triangle is similar to

\triangle ABC.

The original right triangle has area

24

and semiperimeter

12,

hence inradius

\frac{24}{12}=2.

The path triangle has inradius

2-1=1,

so its linear scale is

\frac{1}{2}.

Its perimeter, and therefore the distance traveled, is

\frac12(6+8+10)=12.

Thus the correct answer is B.

28.

¿Cuántos triángulos de área positiva tienen como vértices puntos del plano

xy

con coordenadas enteras

(x,y)

que satisfacen

1\le x\le4

y

1\le y\le4

?

How many triangles with positive area are there whose vertices are points in the

xy

-plane whose coordinates are integers

(x,y)

satisfying

1\le x\le4

and

1\le y\le4?

496

500

512

516

560

Respuesta: D

Conceptos:lattice points combinaciones collinear triples

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Comienza con las

\binom{16}{3}

ternas y resta las que son colineales

Start with all

\binom{16}{3}

triples and subtract collinear ones

Pista grande:

Tres puntos de la cuadrícula pueden ser colineales solo horizontalmente, verticalmente o en una diagonal de pendiente

\pm1

Three collinear grid points can occur only horizontally, vertically, or on a slope-

\pm1

diagonal

Solución:

Hay

\binom{16}{3}=560

ternas de puntos de la cuadrícula. Las cuatro filas y las cuatro columnas aportan

8\binom43=32

ternas colineales. Para pendiente

1,

las longitudes de diagonales capaces de contener tres puntos son

3,

4,

3,

que aportan

\binom33+\binom43+\binom33=6;

la pendiente

-1

aporta otras

6.

Ninguna otra pendiente permite tres puntos de la red dentro de un arreglo de puntos de

4

por

4.

Así, el número de triángulos de área positiva es

560-32-6-6=516.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are

\binom{16}{3}=560

triples of grid points. The four rows and four columns contribute

8\binom43=32

collinear triples. For slope

1,

the diagonal lengths capable of containing three points are

3,

4,

3,

contributing

\binom33+\binom43+\binom33=6;

slope

-1

contributes another

6.

No other slope fits three lattice points inside a

4

-by-

4

point array. Thus the number of positive-area triangles is

560-32-6-6=516.

Thus the correct answer is D.

29.

¿Cuál de los siguientes conjuntos NO podría contener las longitudes de las diagonales exteriores de un prisma rectangular recto, es decir, una “caja”? (Una diagonal exterior es una diagonal de una de las caras rectangulares de la caja.)

Which of the following sets could NOT be the lengths of the external diagonals of a right rectangular prism [a “box”]? (An external diagonal is a diagonal of one of the rectangular faces of the box.)

\{4,5,6\}

\{4,5,7\}

\{4,6,7\}

\{5,6,7\}

\{5,7,8\}

Respuesta: B

Conceptos:prisma rectangular face diagonals Pythagorean inequalities

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Si

p\le q\le r

son las diagonales de las caras, expresa los cuadrados de las aristas en términos de

p^2,q^2,r^2

If

p\le q\le r

are the face diagonals, express the edge squares in terms of

p^2,q^2,r^2

Pista grande:

Una condición necesaria y suficiente de positividad es

r^2\lt p^2+q^2

A necessary and sufficient positivity condition is

r^2\lt p^2+q^2

Solución:

Si las longitudes de las aristas son

a,

b,

c,

entonces los cuadrados de las tres diagonales de las caras son

a^2+b^2,

a^2+c^2,

b^2+c^2.

Para diagonales ordenadas

p\le q\le r,

a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},

por lo que necesariamente

r^2\lt p^2+q^2;

las fórmulas análogas muestran que esto también es suficiente. Solo falla

\{4,5,7\}

, pues

7^2=49\gt16+25=41.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the edge lengths are

a,

b,

c,

then the three face-diagonal squares are

a^2+b^2,

a^2+c^2,

b^2+c^2.

For sorted diagonals

p\le q\le r,

a^2=\frac{p^2+q^2-r^2}{2},

so necessarily

r^2\lt p^2+q^2;

the analogous formulas show this is also sufficient. Only

\{4,5,7\}

fails, since

7^2=49\gt16+25=41.

Thus the correct answer is B.

30.

Dado

0\le x_0\lt1,

define

x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{si }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{si }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}

para todo entero

n\gt0.

¿Para cuántos valores de

x_0

se cumple

x_0=x_5

?

Given

0\le x_0\lt1,

let

x_n= \begin{cases} 2x_{n-1},&\text{if }2x_{n-1}\lt1,\\ 2x_{n-1}-1,&\text{if }2x_{n-1}\ge1 \end{cases}

for all integers

n\gt0.

For how many

x_0

is it true that

x_0=x_5?

0

1

5

31

infinitos

infinitely many

Respuesta: D

Conceptos:iteration fractional part modular equation

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Cada paso toma la parte fraccionaria del doble del valor anterior

Each step takes the fractional part of twice the preceding value

Pista grande:

Por lo tanto,

x_5

es la parte fraccionaria de

32x_0

Thus

x_5

is the fractional part of

32x_0

Solución:

La recurrencia es

x_n=\{2x_{n-1}\},

por lo que

x_5=\{32x_0\}.

La igualdad

x_5=x_0

exige

32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor,

y, por tanto,

31x_0

es un entero. Los valores

x_0=\frac{k}{31}

para

k=0,

1,

\ldots,

30

satisfacen la recurrencia y pertenecen a

[0,1).

Hay

31

valores. Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The recurrence is

x_n=\{2x_{n-1}\},

so

x_5=\{32x_0\}.

The equality

x_5=x_0

requires

32x_0-x_0=\lfloor32x_0\rfloor,

hence

31x_0

is an integer. The values

x_0=\frac{k}{31}

for

k=0,

1,

\ldots,

30

all satisfy the recurrence and lie in

[0,1).

There are

31

values. Thus the correct answer is D.

Problemas del 1993 AMC 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande: