1993 AMC 12 Problema 19

Question

¿Cuántos pares ordenados

(m,n)

de enteros positivos son soluciones de

\frac4m+\frac2n=1?

How many ordered pairs

(m,n)

of positive integers are solutions to

\frac4m+\frac2n=1?

1

2

3

4

más de

4

more than

4

Elimina los denominadores y completa un producto que contenga

m-4

y

n-2

Clear denominators and complete a product involving

m-4

and

n-2

La ecuación es equivalente a

(m-4)(n-2)=8

The equation is equivalent to

(m-4)(n-2)=8

Al eliminar los denominadores y reordenar se obtiene

\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8. \end{aligned}

Ambos factores deben ser positivos. Los cuatro pares ordenados de factores positivos de

8

dan

\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3). \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Clearing denominators and rearranging gives

\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8. \end{aligned}

Both factors must be positive. The four ordered positive factor pairs of

8

give

\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3). \end{aligned}

Thus the correct answer is D.

El Problema 19 en otros años